Ghzhzuiaiwiowo $c)~(x+\frac12)^4;$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để mở rộng biểu thức $(x + \frac{1}{2})^4$.

Công thức nhị thức Newton cho phép ta mở rộng $(a + b)^n$ dưới dạng:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, ta có $a = x$, $b = \frac{1}{2}$ và $n = 4$. Ta sẽ áp dụng công thức này từng bước:

1. Tính các hệ số nhị thức:
   - $\binom{4}{0} = 1$
   - $\binom{4}{1} = 4$
   - $\binom{4}{2} = 6$
   - $\binom{4}{3} = 4$
   - $\binom{4}{4} = 1$

2. Áp dụng công thức:
$$
(x + \frac{1}{2})^4 = \binom{4}{0} x^4 (\frac{1}{2})^0 + \binom{4}{1} x^3 (\frac{1}{2})^1 + \binom{4}{2} x^2 (\frac{1}{2})^2 + \binom{4}{3} x^1 (\frac{1}{2})^3 + \binom{4}{4} x^0 (\frac{1}{2})^4
$$

3. Thay các giá trị vào:
$$
(x + \frac{1}{2})^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{16}
$$

4. Rút gọn các biểu thức:
$$
(x + \frac{1}{2})^4 = x^4 + 4 \cdot \frac{x^3}{2} + 6 \cdot \frac{x^2}{4} + 4 \cdot \frac{x}{8} + \frac{1}{16}
$$
$$
(x + \frac{1}{2})^4 = x^4 + 2x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}
$$

Vậy, kết quả mở rộng của biểu thức $(x + \frac{1}{2})^4$ là:
$$
x^4 + 2x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}
$$