Câu 30.
Điểm là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng , do đó tọa độ của là .
Điểm là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng , do đó tọa độ của là .
Điểm là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng , do đó tọa độ của là .
Bây giờ, ta sẽ kiểm tra phương trình mặt phẳng đi qua các điểm , , và .
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và có dạng:
Tính định thức:
Do đó, phương trình mặt phẳng đi qua các điểm , , và là .
Vậy, các mệnh đề đúng là:
A. Điểm có tọa độ là .
B. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm , , là .
Các mệnh đề sai là:
C. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm , , là .
D. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm , , là .
Câu 31.
Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:
A. Kiểm tra :
Mệnh đề này đúng.
B. Kiểm tra nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì :
Trung điểm I của đoạn thẳng AB được tính như sau:
Mệnh đề này đúng.
C. Kiểm tra mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là :
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng:
Trong đó, là tọa độ của trung điểm I, và là vector .
Thay vào ta có:
Chia cả phương trình cho 2:
Như vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là , không phải là .
Mệnh đề này sai.
D. Kiểm tra mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là :
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đã được tính ở trên là .
Nhân cả phương trình với -1 ta có:
Mệnh đề này đúng.
Kết luận:
- Mệnh đề A đúng.
- Mệnh đề B đúng.
- Mệnh đề C sai.
- Mệnh đề D đúng.
Câu 32.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.
Mệnh đề A:
Ta tính như sau:
Như vậy, mệnh đề A sai vì , không phải .
Mệnh đề B: Phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P) là .
Để tìm phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và vectơ .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là .
Vectơ .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là , vuông góc với cả và . Ta tính bằng phép nhân véc-tơ:
Phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm A(1, 2, -1) và có vectơ pháp tuyến là:
Như vậy, mệnh đề B đúng.
Mệnh đề C: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là .
Khoảng cách từ điểm A(1, 2, -1) đến mặt phẳng (P): được tính bằng công thức:
Như vậy, mệnh đề C đúng.
Mệnh đề D: Phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P) là .
Trước đó, ta đã tìm ra phương trình mặt phẳng (Q) là . Do đó, mệnh đề D sai.
Kết luận:
- Mệnh đề A sai.
- Mệnh đề B đúng.
- Mệnh đề C đúng.
- Mệnh đề D sai.