giúp mình với ạ cảm ơn nhé

Câu 30. Điểm $A_1$ là hình chiếu của điểm $A(3;5;2)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$, do đó tọa độ của $A_1$ là $A_1(3;5;0)$. Điểm $A_2$ là hình chiếu của điểm $A(3;5;2)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$, do đó tọa độ của $A_2$ là $A_2(0;5;2)$. Điểm $A_3$ là hình chiếu của điểm $A(3;5;2)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$, do đó tọa độ của $A_3$ là $A_3(3;0;2)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A_1$, $A_2$, và $A_3$. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A_1(3;5;0)$, $A_2(0;5;2)$, và $A_3(3;0;2)$ có dạng: \[ \begin{vmatrix} x - 3 & y - 5 & z \\ 0 - 3 & 5 - 5 & 2 \\ 3 - 3 & 0 - 5 & 2 \end{vmatrix} = 0 \] Tính định thức: \[ \begin{vmatrix} x - 3 & y - 5 & z \\ -3 & 0 & 2 \\ 0 & -5 & 2 \end{vmatrix} = (x - 3)\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} - (y - 5)\begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + z\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} \] \[ = (x - 3)(0 \cdot 2 - (-5) \cdot 2) - (y - 5)(-3 \cdot 2 - 0 \cdot 2) + z(-3 \cdot (-5) - 0 \cdot 0) \] \[ = (x - 3)(10) - (y - 5)(-6) + z(15) \] \[ = 10(x - 3) + 6(y - 5) + 15z \] \[ = 10x - 30 + 6y - 30 + 15z \] \[ = 10x + 6y + 15z - 60 = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A_1$, $A_2$, và $A_3$ là $10x + 6y + 15z - 60 = 0$. Vậy, các mệnh đề đúng là: A. Điểm $A_1$ có tọa độ là $A_1(3;5;0)$. B. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$ là $10x + 6y + 15z - 60 = 0$. Các mệnh đề sai là: C. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$ là $10x + 6y + 15z - 90 = 0$. D. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} + \frac{z}{2} = 1$. Câu 31. Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: A. Kiểm tra $\overrightarrow{AB} = (-6; 2; 2)$: $\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 4; 2 - 0; 3 - 1) = (-6; 2; 2)$ Mệnh đề này đúng. B. Kiểm tra nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì $I(1; 1; 2)$: Trung điểm I của đoạn thẳng AB được tính như sau: $I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right) = \left(\frac{4 + (-2)}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{1 + 3}{2}\right) = (1; 1; 2)$ Mệnh đề này đúng. C. Kiểm tra mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là $x + y + 2z - 6 = 0$: Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng: $(x - x_I)(x_B - x_A) + (y - y_I)(y_B - y_A) + (z - z_I)(z_B - z_A) = 0$ Trong đó, $(x_I, y_I, z_I)$ là tọa độ của trung điểm I, và $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$ là vector $\overrightarrow{AB}$. Thay vào ta có: $(x - 1)(-6) + (y - 1)(2) + (z - 2)(2) = 0$ $-6x + 6 + 2y - 2 + 2z - 4 = 0$ $-6x + 2y + 2z = 0$ Chia cả phương trình cho 2: $-3x + y + z = 0$ Như vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $-3x + y + z = 0$, không phải là $x + y + 2z - 6 = 0$. Mệnh đề này sai. D. Kiểm tra mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là $3x - y - z = 0$: Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đã được tính ở trên là $-3x + y + z = 0$. Nhân cả phương trình với -1 ta có: $3x - y - z = 0$ Mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B đúng. - Mệnh đề C sai. - Mệnh đề D đúng. Câu 32. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề A: $\overrightarrow{AB}=(1;1;-1)$ Ta tính $\overrightarrow{AB}$ như sau: \begin{align} \overrightarrow{AB} &= B - A \\ &= (-1 - 1; 0 - 2; 1 + 1) \\ &= (-2; -2; 2) \end{align} Như vậy, mệnh đề A sai vì $\overrightarrow{AB} = (-2; -2; 2)$, không phải $(1; 1; -1)$. Mệnh đề B: Phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P) là $x + z = 0$. Để tìm phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và vectơ $\overrightarrow{AB}$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_P = (1, 2, -1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2, -2, 2)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\vec{n}_Q$, vuông góc với cả $\vec{n}_P$ và $\overrightarrow{AB}$. Ta tính $\vec{n}_Q$ bằng phép nhân véc-tơ: \begin{align} \vec{n}_Q &= \vec{n}_P \times \overrightarrow{AB} \\ &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \end{vmatrix} \\ &= \vec{i}(2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-2)) - \vec{j}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-2)) + \vec{k}(1 \cdot (-2) - 2 \cdot (-2)) \\ &= \vec{i}(4 - 2) - \vec{j}(2 - 2) + \vec{k}(-2 + 4) \\ &= 2\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k} \\ &= (2, 0, 2) \end{align} Phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm A(1, 2, -1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (2, 0, 2)$ là: \[ 2(x - 1) + 0(y - 2) + 2(z + 1) = 0 \] \[ 2x - 2 + 2z + 2 = 0 \] \[ 2x + 2z = 0 \] \[ x + z = 0 \] Như vậy, mệnh đề B đúng. Mệnh đề C: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là $d(A, (P)) = \frac{7\sqrt{6}}{6}$. Khoảng cách từ điểm A(1, 2, -1) đến mặt phẳng (P): $x + 2y - z + 1 = 0$ được tính bằng công thức: \[ d(A, (P)) = \frac{|1 + 2 \cdot 2 - (-1) + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} \] \[ d(A, (P)) = \frac{|1 + 4 + 1 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \] \[ d(A, (P)) = \frac{|7|}{\sqrt{6}} \] \[ d(A, (P)) = \frac{7}{\sqrt{6}} \] \[ d(A, (P)) = \frac{7\sqrt{6}}{6} \] Như vậy, mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: Phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P) là $3x - y + z = 0$. Trước đó, ta đã tìm ra phương trình mặt phẳng (Q) là $x + z = 0$. Do đó, mệnh đề D sai. Kết luận: - Mệnh đề A sai. - Mệnh đề B đúng. - Mệnh đề C đúng. - Mệnh đề D sai.