3000000000fhgsd

Câu 1: Để giải bất phương trình \(x^2 - 5x + 4 < 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai liên quan: Ta giải phương trình \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -5\), và \(c = 4\): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \] 2. Xác định dấu của biểu thức \(x^2 - 5x + 4\) trên các khoảng xác định: Biểu thức \(x^2 - 5x + 4\) là một parabol mở lên (vì hệ số \(a = 1 > 0\)). Do đó, biểu thức này sẽ âm giữa hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 4\). 3. Xác định tập nghiệm của bất phương trình: Bất phương trình \(x^2 - 5x + 4 < 0\) đúng khi \(x\) nằm trong khoảng giữa hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 4\), tức là: \[ S = (1, 4) \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(x^2 - 5x + 4 < 0\) là: \[ \boxed{C. S = (1, 4)} \] Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần dựa vào bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$. Bảng xét dấu cho thấy dấu của $f(x)$ thay đổi như thế nào qua các khoảng giữa các nghiệm của phương trình $f(x) = 0$. Bước 1: Xác định các nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ từ bảng xét dấu. - Từ bảng xét dấu, ta thấy $f(x)$ thay đổi dấu tại $x = 0$ và $x = 2$. Do đó, các nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ là $x = 0$ và $x = 2$. Bước 2: Xác định dấu của $f(x)$ trong các khoảng giữa các nghiệm. - Khi $x < 0$, $f(x) > 0$. - Khi $0 < x < 2$, $f(x) < 0$. - Khi $x > 2$, $f(x) > 0$. Bước 3: Xác định tập nghiệm của bất phương trình $f(x) \geq 0$. - Ta cần tìm các khoảng mà $f(x) \geq 0$. Từ bảng xét dấu, ta thấy: - $f(x) > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$. - $f(x) = 0$ khi $x = 0$ hoặc $x = 2$. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $f(x) \geq 0$ là: \[ S = (-\infty; 0] \cup [2; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: C. $S = (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$. Câu 3: Để xác định biểu thức nào là tam thức bậc hai, chúng ta cần kiểm tra từng biểu thức theo định nghĩa của tam thức bậc hai. Một tam thức bậc hai có dạng tổng của ba hạng tử, trong đó có một hạng tử là lũy thừa bậc hai của biến số, một hạng tử là lũy thừa bậc nhất của biến số và một hạng tử là hằng số. A. \( f(x) = -2x^2 + 3 \) - Biểu thức này có dạng tổng của hai hạng tử: \(-2x^2\) và \(3\). - Hạng tử \(-2x^2\) là lũy thừa bậc hai của biến số \(x\). - Hạng tử \(3\) là hằng số. - Biểu thức này không có hạng tử lũy thừa bậc nhất của biến số \(x\). Do đó, biểu thức \( f(x) = -2x^2 + 3 \) là tam thức bậc hai. B. \( f(x) = -\frac{1}{x^2} + 8x \) - Biểu thức này có dạng tổng của hai hạng tử: \(-\frac{1}{x^2}\) và \(8x\). - Hạng tử \(-\frac{1}{x^2}\) là một phân thức chứ không phải là lũy thừa bậc hai của biến số \(x\). - Hạng tử \(8x\) là lũy thừa bậc nhất của biến số \(x\). Do đó, biểu thức \( f(x) = -\frac{1}{x^2} + 8x \) không phải là tam thức bậc hai. C. \( f(x) = -2x^2 + 3\sqrt{x} \) - Biểu thức này có dạng tổng của hai hạng tử: \(-2x^2\) và \(3\sqrt{x}\). - Hạng tử \(-2x^2\) là lũy thừa bậc hai của biến số \(x\). - Hạng tử \(3\sqrt{x}\) là căn bậc hai của biến số \(x\), không phải là lũy thừa bậc nhất của biến số \(x\). Do đó, biểu thức \( f(x) = -2x^2 + 3\sqrt{x} \) không phải là tam thức bậc hai. D. \( f(x) = 8x - 3 \) - Biểu thức này có dạng tổng của hai hạng tử: \(8x\) và \(-3\). - Hạng tử \(8x\) là lũy thừa bậc nhất của biến số \(x\). - Hạng tử \(-3\) là hằng số. - Biểu thức này không có hạng tử lũy thừa bậc hai của biến số \(x\). Do đó, biểu thức \( f(x) = 8x - 3 \) không phải là tam thức bậc hai. Kết luận: Biểu thức \( f(x) = -2x^2 + 3 \) là tam thức bậc hai. Câu 4: Để xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: 3x - 2y + 2025 = 0\), ta cần tìm vectơ có hướng vuông góc với đường thẳng này. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow{n} = (a, b)\). Trong phương trình \(d: 3x - 2y + 2025 = 0\), ta có: - \(a = 3\) - \(b = -2\) Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (3, -2)\). Vậy đáp án đúng là: B. \(\overrightarrow{n} = (3, -2)\). Câu 5: Để tìm tâm của đường tròn $(C):~x^2 + y^2 - 8x + 10y - 7 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: \[ x^2 - 8x + y^2 + 10y = 7 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các nhóm \(x\) và \(y\): \[ (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 7 + 16 + 25 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 48 \] Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), ta thấy tâm của đường tròn là \(A(4, -5)\). Vậy đáp án đúng là: D. \(I(4, -5)\). Câu 6: Để giải phương trình $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x^2+1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với căn thức $\sqrt{x^2+3x-2}$, ta có điều kiện: $x^2 + 3x - 2 \geq 0$. - Đối với căn thức $\sqrt{x^2+1}$, ta có điều kiện: $x^2 + 1 \geq 0$. Điều này luôn đúng với mọi giá trị của $x$. 2. Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức: \[ (\sqrt{x^2+3x-2})^2 = (\sqrt{x^2+1})^2 \] \[ x^2 + 3x - 2 = x^2 + 1 \] 3. Giải phương trình thu được: \[ x^2 + 3x - 2 = x^2 + 1 \] \[ 3x - 2 = 1 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Thay $x = 1$ vào điều kiện $x^2 + 3x - 2 \geq 0$: \[ 1^2 + 3(1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 2 \geq 0 \] Vậy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện xác định. 5. Kết luận: Phương trình $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x^2+1}$ có một nghiệm là $x = 1$. Đáp án đúng là: B. $x = 1$. Câu 7: Để giải phương trình $\sqrt{2x^2 + 3x - 5} = x - 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: $2x^2 + 3x - 5 \geq 0$ - Biểu thức bên phải phải không âm: $x - 1 \geq 0$ 2. Giải bất phương trình $2x^2 + 3x - 5 \geq 0$: Ta giải phương trình $2x^2 + 3x - 5 = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \] Do đó, $2x^2 + 3x - 5 \geq 0$ khi $x \leq -\frac{5}{2}$ hoặc $x \geq 1$. 3. Giải bất phương trình $x - 1 \geq 0$: \[ x \geq 1 \] 4. Tìm giao của các điều kiện: Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \[ x \geq 1 \] 5. Giải phương trình $\sqrt{2x^2 + 3x - 5} = x - 1$: Ta bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức: \[ (\sqrt{2x^2 + 3x - 5})^2 = (x - 1)^2 \] \[ 2x^2 + 3x - 5 = x^2 - 2x + 1 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 2x^2 + 3x - 5 - x^2 + 2x - 1 = 0 \] \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \] 6. Kiểm tra điều kiện xác định: - $x = 1$: Thỏa mãn $x \geq 1$ - $x = -6$: Không thỏa mãn $x \geq 1$ Do đó, phương trình $\sqrt{2x^2 + 3x - 5} = x - 1$ có nghiệm duy nhất là $x = 1$. Đáp án: C. $x = 1$. Câu 8: Để tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc $\overrightarrow v$ và $\overrightarrow w$, ta thực hiện phép cộng hai vectơ này. Vectơ $\overrightarrow v$ có tọa độ là $(2; -2)$. Vectơ $\overrightarrow w$ có tọa độ là $(-4; 3)$. Phép cộng hai vectơ $\overrightarrow v$ và $\overrightarrow w$ được thực hiện như sau: \[ \overrightarrow v + \overrightarrow w = (2 + (-4); -2 + 3) \] Ta tính từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: $2 + (-4) = 2 - 4 = -2$ - Thành phần thứ hai: $-2 + 3 = 1$ Vậy tọa độ của vectơ tổng $\overrightarrow v + \overrightarrow w$ là $(-2; 1)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(-2; 1)$. Câu 9: Để xác định phương trình của đường tròn (C) có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$, ta sẽ dựa vào công thức chuẩn của phương trình đường tròn. Phương trình chuẩn của đường tròn có tâm $(a, b)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương án đã cho: A. $(x + a)^2 + (y + b)^2 = R$ - Phương án này không đúng vì nó không tuân theo công thức chuẩn của phương trình đường tròn. B. $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ - Phương án này đúng vì nó tuân theo công thức chuẩn của phương trình đường tròn. C. $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R$ - Phương án này không đúng vì nó không tuân theo công thức chuẩn của phương trình đường tròn. D. $(x + a)^2 + (y + b)^2 = R^2$ - Phương án này không đúng vì nó không tuân theo công thức chuẩn của phương trình đường tròn. Vậy phương án đúng là: \[ \text{B. } (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Câu 10: Để xác định dấu của $\Delta$ khi hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta sẽ phân tích các trường hợp của $\Delta$: 1. Trường hợp $\Delta < 0$: - Nếu $\Delta < 0$, phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số $f(x)$ không cắt trục hoành. Do đó, hàm số $f(x)$ luôn dương hoặc luôn âm tùy thuộc vào dấu của hệ số $a$. - Nếu $a > 0$, thì $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. - Nếu $a < 0$, thì $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. - Vậy trong trường hợp này, $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$. 2. Trường hợp $\Delta = 0$: - Nếu $\Delta = 0$, phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm kép. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số $f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất. - Nếu $a > 0$, thì $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, và $f(x) = 0$ tại điểm tiếp xúc. - Nếu $a < 0$, thì $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, và $f(x) = 0$ tại điểm tiếp xúc. - Vậy trong trường hợp này, $f(x)$ không luôn cùng dấu với hệ số $a$ vì nó có thể bằng 0 tại điểm tiếp xúc. 3. Trường hợp $\Delta > 0$: - Nếu $\Delta > 0$, phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại hai điểm khác nhau. - Nếu $a > 0$, thì $f(x)$ sẽ có các giá trị dương và các giá trị âm giữa hai nghiệm. - Nếu $a < 0$, thì $f(x)$ cũng sẽ có các giá trị dương và các giá trị âm giữa hai nghiệm. - Vậy trong trường hợp này, $f(x)$ không luôn cùng dấu với hệ số $a$ vì nó có thể đổi dấu giữa hai nghiệm. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có trường hợp $\Delta < 0$ là thỏa mãn điều kiện $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: A. $\Delta < 0$. Câu 11: Để giải bất phương trình \(x^2 - 5x + 4 < 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai \(x^2 - 5x + 4 = 0\): Ta sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \] Vậy phương trình \(x^2 - 5x + 4 = 0\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 4\). 2. Xác định dấu của biểu thức \(x^2 - 5x + 4\) trên các khoảng xác định: Biểu thức \(x^2 - 5x + 4\) sẽ đổi dấu tại các điểm \(x = 1\) và \(x = 4\). Ta xét dấu của biểu thức trên các khoảng: - Khi \(x < 1\), chọn \(x = 0\): \[ (0 - 1)(0 - 4) = (-1)(-4) = 4 > 0 \] - Khi \(1 < x < 4\), chọn \(x = 2\): \[ (2 - 1)(2 - 4) = (1)(-2) = -2 < 0 \] - Khi \(x > 4\), chọn \(x = 5\): \[ (5 - 1)(5 - 4) = (4)(1) = 4 > 0 \] 3. Lập bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & (1, 4) & (4, +\infty) \\ \hline x - 1 & - & + & + \\ x - 4 & - & - & + \\ x^2 - 5x + 4 & + & - & + \\ \end{array} \] 4. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: Bất phương trình \(x^2 - 5x + 4 < 0\) đúng trong khoảng \(1 < x < 4\). 5. Kiểm tra các đáp án: - \(x = 1\) không thỏa mãn vì \(x = 1\) là nghiệm của phương trình \(x^2 - 5x + 4 = 0\), không thuộc khoảng \(1 < x < 4\). - \(x = -1\) không thỏa mãn vì \(-1\) nằm ngoài khoảng \(1 < x < 4\). - \(x = 0\) không thỏa mãn vì \(0\) nằm ngoài khoảng \(1 < x < 4\). - \(x = 2\) thỏa mãn vì \(2\) nằm trong khoảng \(1 < x < 4\). Vậy đáp án đúng là: D. \(x = 2\). Câu 12: Để giải bất phương trình $-x^2 + 9x - 8 \geq 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tương ứng: Ta viết lại bất phương trình thành phương trình: \[ -x^2 + 9x - 8 = 0 \] 2. Giải phương trình bậc hai: Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = -1\), \(b = 9\), \(c = -8\), ta có: \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(-1)(-8)}}{2(-1)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 32}}{-2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{-2} = \frac{-9 \pm 7}{-2} \] Từ đây, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-9 + 7}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-9 - 7}{-2} = \frac{-16}{-2} = 8 \] 3. Xác định dấu của biểu thức: Biểu thức $-x^2 + 9x - 8$ là một parabol mở xuống (vì hệ số của \(x^2\) là âm). Do đó, biểu thức này sẽ lớn hơn hoặc bằng 0 giữa hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 8\). 4. Xác định tập nghiệm của bất phương trình: Vì biểu thức lớn hơn hoặc bằng 0 giữa hai nghiệm, ta có: \[ 1 \leq x \leq 8 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ [1, 8] \] Do đó, đáp án đúng là: A. $[1, 8]$ Đáp số: A. $[1, 8]$ Câu 13: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác. Nếu \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: - \( A(0, 3) \) - \( B(4, -3) \) - \( C(2, 3) \) Tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{0 + 4 + 2}{3}, \frac{3 + (-3) + 3}{3}\right) \] Ta thực hiện phép tính: \[ G\left(\frac{6}{3}, \frac{3}{3}\right) \] \[ G(2, 1) \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) là \( G(2, 1) \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( G(2, 1) \).