Cân 1. Một sợi dây kim loại dài 6(cm) Người ta cắt sợi dây đô thành hai doan. Đoạn có độ đãi (cm) duroc uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông (0

Question

Cân 1. Một sợi dây kim loại dài 6(cm) Người ta cắt sợi dây đô thành hai doan. Đoạn có độ đãi (cm) duroc uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông (0 < x < 6) 
a) Bán kinh đường tròn là tau = x/pi 
b) Diện tích hình vuông là ((6 - x)/4) ^ 2 
c) Tổng diện tích hai hình là ((4 + pi) * x ^ 2 - 12pi*x + 36pi)/(16pi) 
d) Khi x = (6pi)/(2 + pi) hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Xác định các đại lượng
- Sợi dây kim loại dài 6 cm.
- Đoạn dây dài $ x $ cm được uốn thành đường tròn.
- Đoạn dây còn lại dài $ 6 - x $ cm được uốn thành hình vuông.

Bước 2: Tính bán kính đường tròn
Bán kính đường tròn là:
$$ r = \frac{x}{2\pi} $$

Bước 3: Tính diện tích hình vuông
Độ dài mỗi cạnh của hình vuông là:
$$ a = \frac{6 - x}{4} $$
Diện tích hình vuông là:
$$ A_{vuông} = a^2 = \left( \frac{6 - x}{4} \right)^2 = \frac{(6 - x)^2}{16} $$

Bước 4: Tính diện tích đường tròn
Diện tích đường tròn là:
$$ A_{tròn} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{x}{2\pi} \right)^2 = \pi \cdot \frac{x^2}{4\pi^2} = \frac{x^2}{4\pi} $$

Bước 5: Tính tổng diện tích hai hình
Tổng diện tích hai hình là:
$$ A_{tổng} = A_{vuông} + A_{tròn} = \frac{(6 - x)^2}{16} + \frac{x^2}{4\pi} $$

Bước 6: Rút gọn biểu thức tổng diện tích
$$ A_{tổng} = \frac{(6 - x)^2}{16} + \frac{x^2}{4\pi} $$
$$ = \frac{36 - 12x + x^2}{16} + \frac{x^2}{4\pi} $$
$$ = \frac{36 - 12x + x^2}{16} + \frac{4x^2}{16\pi} $$
$$ = \frac{36 - 12x + x^2 + \frac{4x^2}{\pi}}{16} $$
$$ = \frac{36 - 12x + x^2 + \frac{4x^2}{\pi}}{16} $$
$$ = \frac{36 - 12x + x^2 + \frac{4x^2}{\pi}}{16} $$
$$ = \frac{36 - 12x + x^2 + \frac{4x^2}{\pi}}{16} $$
$$ = \frac{36 - 12x + x^2 + \frac{4x^2}{\pi}}{16} $$
$$ = \frac{36 - 12x + x^2 + \frac{4x^2}{\pi}}{16} $$

Bước 7: Tìm giá trị $ x $ để tổng diện tích đạt giá trị nhỏ nhất
Để tìm giá trị $ x $ làm cho tổng diện tích đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $ A_{tổng} $ theo $ x $ và đặt đạo hàm đó bằng 0.

$$ A_{tổng}' = \frac{d}{dx} \left( \frac{36 - 12x + x^2 + \frac{4x^2}{\pi}}{16} \right) $$
$$ = \frac{1}{16} \left( -12 + 2x + \frac{8x}{\pi} \right) $$
$$ = \frac{-12 + 2x + \frac{8x}{\pi}}{16} $$

Đặt đạo hàm bằng 0:
$$ -12 + 2x + \frac{8x}{\pi} = 0 $$
$$ 2x + \frac{8x}{\pi} = 12 $$
$$ 2x \left( 1 + \frac{4}{\pi} \right) = 12 $$
$$ 2x \left( \frac{\pi + 4}{\pi} \right) = 12 $$
$$ x = \frac{12 \pi}{2(\pi + 4)} $$
$$ x = \frac{6 \pi}{\pi + 4} $$

Kết luận
Giá trị $ x $ để tổng diện tích đạt giá trị nhỏ nhất là:
$$ x = \frac{6 \pi}{\pi + 4} $$

Cân 1. Một sợi dây kim loại dài 6(cm) Người ta cắt sợi dây đô thành hai doan. Đoạn có độ đãi (cm) duroc uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông (0 < x < 6) a) Bán kinh đường trò...