Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Qua B kẻ đường thẳng (d1) song song với AC, qua C kẻ đường thẳng (d2) song son...

1. Chứng minh: tứ giác AEMF là hình chữ nhật và tổng $$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. - Ta thấy $$ (vì tam giác ABC vuông cân tại A). - ME vuông góc với AB tại E và MF vuông góc với AC tại F, nên $$. - Vậy tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông). - Ta có $$ (vì AC = AB). - $$. - Vì AEMF là hình chữ nhật, nên EM + FM = AF. - Do đó, $$. - Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AF = AB, suy ra $$. - Vậy $$, không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 2. Chứng minh DE vuông góc với BF tại I và OI = OM. - Ta thấy $$ (vì (d1) song song với AC và (d2) song song với AB). - Vậy tứ giác DEBC là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông). - Do đó, DE vuông góc với BF tại I (vì DE song song với BC và BF vuông góc với BC). - Ta thấy $$ (đối đỉnh). - $$ (giao giữa đường thẳng và đường chéo của hình chữ nhật). - Vậy tam giác AOM đồng dạng với tam giác EOF (góc - góc). - Từ đó, ta có $$. - Vì AEMF là hình chữ nhật, nên OE = OF. - Do đó, $$, suy ra OA = OM. - Vậy OI = OM (vì O là trung điểm của EF). 3. Xác định vị trí điểm M để S1, S2 lớn nhất. - Diện tích tam giác BEM là $$. - Diện tích tam giác CFM là $$. - Vì AEMF là hình chữ nhật, nên EM = AF và FM = AE. - Do đó, $$ và $$. - Để S1 và S2 lớn nhất, ta cần BE và CF lớn nhất. - Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên BE và CF lớn nhất khi M trùng với B hoặc C. - Vậy vị trí điểm M để S1 và S2 lớn nhất là M trùng với B hoặc C.