Giải hộ mình câu này với các bạnGiải hộ mình câu này với các bạn

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ. Công thức đó là: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} \] Trong đó: - \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\) là tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\). - \(|\overrightarrow{AB}|\) và \(|\overrightarrow{CD}|\) lần lượt là độ dài của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định đáp án đúng: A. \(\cos \alpha = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\) Đáp án này sai vì nó lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng, trong khi công thức chuẩn không yêu cầu điều này. B. \(\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\) Đáp án này đúng vì nó chính xác theo công thức chuẩn. C. \(\cos \alpha = \frac{|\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}|}{[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}]}\) Đáp án này sai vì nó sử dụng ký hiệu không đúng và không liên quan đến công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ. D. \(\cos \alpha = \frac{[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}]}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\) Đáp án này sai vì nó sử dụng dấu ngoặc vuông [ ] không đúng và không liên quan đến công thức chuẩn. Vậy, đáp án đúng là: B. \(\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\) Câu 2. Để tìm góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần tìm góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d_1\) là: \[ \vec{u}_1 = (1, 1, 0) \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d_2\) là: \[ \vec{u}_2 = (-1, 0, 1) \] Ta tính tích vô hướng của hai vectơ này: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -1 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] Tích vô hướng của hai vectơ cũng có thể được viết dưới dạng: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = |\vec{u}_1| |\vec{u}_2| \cos \theta \] Do đó: \[ -1 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos \theta \] \[ -1 = 2 \cos \theta \] \[ \cos \theta = -\frac{1}{2} \] Góc \(\theta\) có giá trị là: \[ \theta = 120^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là \(120^\circ\). Đáp án đúng là: B. \(120^\circ\). Câu 3. Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có dạng tham số $\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{1}$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (1, -2, 1)$. 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $5x + 11y + 2z - 4 = 0$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (5, 11, 2)$. 3. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có công thức: \[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Trong đó: - $\vec{u} \cdot \vec{n}$ là tích vô hướng của $\vec{u}$ và $\vec{n}$. - $|\vec{u}|$ là độ dài của $\vec{u}$. - $|\vec{n}|$ là độ dài của $\vec{n}$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{n}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 5 + (-2) \cdot 11 + 1 \cdot 2 = 5 - 22 + 2 = -15 \] Tính độ dài của $\vec{u}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] Tính độ dài của $\vec{n}$: \[ |\vec{n}| = \sqrt{5^2 + 11^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 121 + 4} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \] Thay vào công thức: \[ \sin \theta = \frac{|-15|}{\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{6}} = \frac{15}{5 \cdot 6} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \] Vậy $\sin \theta = \frac{1}{2}$, suy ra $\theta = 30^\circ$ hoặc $\theta = 150^\circ$. Vì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường là góc nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ$, nên ta chọn $\theta = 30^\circ$. Đáp án đúng là: C. $30^\circ$. Câu 4. Để tính số đo góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (-1, 2, 1)\). 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(x - y + 3 = 0\). Từ phương trình này, ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\vec{n} = (1, -1, 0)\). 3. Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\): Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Ta có công thức: \[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] - Tính tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{n}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -1 - 2 + 0 = -3 \] - Tính độ dài của vectơ \(\vec{u}\): \[ |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] - Tính độ dài của vectơ \(\vec{n}\): \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \] - Thay vào công thức: \[ \sin \theta = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Tìm góc \(\theta\): \[ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 60^\circ \] Vậy số đo góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) là \(60^\circ\). Đáp án đúng là: A. \(60^\circ\). Câu 5. Để tính góc tạo bởi mặt phẳng $(P)$ với trục Ox, ta cần xác định góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và trục Ox. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $-\sqrt{3}x + y + 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (-\sqrt{3}, 1, 0)$. Trục Ox có vectơ đơn vị là $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Góc giữa vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và trục Ox là góc giữa $\vec{n}$ và $\vec{i}$. Ta tính cosin của góc này: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{i}}{|\vec{n}| |\vec{i}|} \] Tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{i}$ là: \[ \vec{n} \cdot \vec{i} = (-\sqrt{3}) \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\sqrt{3} \] Độ dài của $\vec{n}$ là: \[ |\vec{n}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \] Độ dài của $\vec{i}$ là: \[ |\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Góc $\theta$ có cosin bằng $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ là $150^\circ$. Vậy góc tạo bởi mặt phẳng $(P)$ với trục Ox là $150^\circ$. Đáp án đúng là: D. $150^\circ$. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. 3. Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $3x + 4y + 5z + 2 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (3, 4, 5)$. Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$: - Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: $x - 2y + 1 = 0$. - Mặt phẳng $(\beta)$ có phương trình: $x - 2z - 3 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\vec{n}_\alpha = (1, -2, 0)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ là $\vec{n}_\beta = (1, 0, -2)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta$. Tính tích vector: \[ \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(4) - \vec{j}(-2) + \vec{k}(2) = (4, 2, 2) \] Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có: \[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = (4, 2, 2) \cdot (3, 4, 5) = 4 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 12 + 8 + 10 = 30 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\vec{u}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Tính $\sin \theta$: \[ \sin \theta = \frac{30}{2\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{30}{10\sqrt{12}} = \frac{30}{20\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó, $\theta = 60^\circ$. Vậy đáp án đúng là: A. $60^\circ$. Câu 7. Để tìm cosin góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta làm theo các bước sau: 1. Xác định các vector pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng $(\alpha): 2x - y + 2z - 1 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (2, -1, 2)$. - Mặt phẳng $(\beta): x + 2y - 2z - 3 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (1, 2, -2)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vector pháp tuyến: \[ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 2 - 2 - 4 = -4 \] 3. Tính độ dài của hai vector pháp tuyến: \[ |\vec{n}_\alpha| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{n}_\beta| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] 4. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng: \[ \cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta}{|\vec{n}_\alpha| \cdot |\vec{n}_\beta|} \right| = \left| \frac{-4}{3 \cdot 3} \right| = \left| \frac{-4}{9} \right| = \frac{4}{9} \] Vậy cosin góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $(\beta)$ là $\frac{4}{9}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{4}{9}$ Câu 8. Để tìm hai mặt phẳng tạo với nhau một góc $60^0$, ta cần tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta sẽ kiểm tra từng cặp mặt phẳng để tìm cặp nào có góc giữa hai vectơ pháp tuyến là $60^0$. A. $(P):~2x+11y-5z+3=0$ và $(Q):~x+2y-z-2=0.$ Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_1 = (2, 11, -5)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (1, 2, -1)$. Tích vô hướng $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \times 1 + 11 \times 2 + (-5) \times (-1) = 2 + 22 + 5 = 29$. Tích các độ dài vectơ: $|\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + 11^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 121 + 25} = \sqrt{150}$. $|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$. $\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{29}{\sqrt{150} \times \sqrt{6}} = \frac{29}{\sqrt{900}} = \frac{29}{30}$. B. $(P):~2x+11y-5z+3=0$ và $(Q):~-x+2y+z-5=0.$ Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_1 = (2, 11, -5)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (-1, 2, 1)$. Tích vô hướng $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \times (-1) + 11 \times 2 + (-5) \times 1 = -2 + 22 - 5 = 15$. Tích các độ dài vectơ: $|\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + 11^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 121 + 25} = \sqrt{150}$. $|\vec{n}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$. $\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{15}{\sqrt{150} \times \sqrt{6}} = \frac{15}{\sqrt{900}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$. C. $(P):~2x-11y+5z-21=0$ và $(Q):~2x+y+z-2=0.$ Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_1 = (2, -11, 5)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (2, 1, 1)$. Tích vô hướng $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \times 2 + (-11) \times 1 + 5 \times 1 = 4 - 11 + 5 = -2$. Tích các độ dài vectơ: $|\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + (-11)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 121 + 25} = \sqrt{150}$. $|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$. $\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{-2}{\sqrt{150} \times \sqrt{6}} = \frac{-2}{\sqrt{900}} = \frac{-2}{30} = -\frac{1}{15}$. D. $(P):~2x-5y+11z-6=0$ và $(Q):~-x+2y+z-5=0.$ Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_1 = (2, -5, 11)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (-1, 2, 1)$. Tích vô hướng $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \times (-1) + (-5) \times 2 + 11 \times 1 = -2 - 10 + 11 = -1$. Tích các độ dài vectơ: $|\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 25 + 121} = \sqrt{150}$. $|\vec{n}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$. $\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{-1}{\sqrt{150} \times \sqrt{6}} = \frac{-1}{\sqrt{900}} = \frac{-1}{30}$. Như vậy, chỉ có cặp mặt phẳng B có góc giữa hai vectơ pháp tuyến là $60^0$. Đáp án đúng là: B.