tìm các số nguyên dương a, b, c biết rằng a^3 - b^3 -c^3 = 3abc và a^2 = 2(b+c)

isadora Phân tích đẳng thức $$ a 3 −b 3 −c 3 =3abc . Đẳng thức này gợi nhớ đến hằng đẳng thức đáng nhớ liên quan đến tổng các lập phương. Tuy nhiên, dấu trừ trước $$ b 3 và $$ c 3 làm cho việc áp dụng trực tiếp trở nên khó khăn. Ta cần biến đổi đẳng thức đã cho. Biến đổi đẳng thức. Ta có $$ a 3 −b 3 −c 3 =3abc tương đương với $$ a 3 =b 3 +c 3 +3abc . Nếu ta giả sử $$ a,b,c là các số nguyên dương, thì đẳng thức này cho thấy $$ a 3 lớn hơn hoặc bằng tổng của $$ b 3 , $$ c 3 và $$ 3abc . Sử dụng điều kiện $$ a 2 =2(b+c) . Từ đây, ta có thể biểu diễn $$ b+c theo $$ a : $$ b+c= 2 a 2 ​ . Vì $$ b và $$ c là các số nguyên dương, nên $$ a 2 phải là một số chẵn, điều này có nghĩa là $$ a phải là một số chẵn. Giả sử $$ a=2k với $$ k là một số nguyên dương. Khi đó, $$ b+c= 2 (2k) 2 ​ =2k 2 . Tìm mối liên hệ giữa a, b, c. Thử với một vài giá trị của $$ k . Nếu $$ k=1 , thì $$ a=2 , $$ b+c=2 . Điều này cho ta $$ b=1,c=1 . Thử lại vào đẳng thức ban đầu: $$ 2 3 −1 3 −1 3 =6 , và $$ 3(2)(1)(1)=6 . Đẳng thức được thỏa mãn. Vậy $$ a=2,b=1,c=1 là một nghiệm. Kiểm tra tính duy nhất. Việc tìm nghiệm có thể phức tạp hơn nếu ta không có thêm điều kiện. Tuy nhiên, với điều kiện $$ a 2 =2(b+c) , việc thử nghiệm với các giá trị nhỏ của $$ a cho thấy nghiệm $$ a=2,b=1,c=1 là một nghiệm hợp lệ. Việc chứng minh tính duy nhất của nghiệm này cần thêm các kỹ thuật toán học nâng cao hơn.