giải bài tập Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;1;-1),~B(3;0;1),~C(2;-1;3).$ Điểm D thuộc Oy và thể,tích khối tứ diện ABCD bằng 5 . Tọa độ điểm D là,$A.~D(0;-7;0).$ $B.~D(0;8;0).$,$C.~D(O;-7;O)$ hoặc $D(O;8;0).$ $D.~D(0;7;0)$ hoặc $D(0;-8;0).$

Question

Accepted Answer

Câu 37.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$:
   - $\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, 0-1, 1+1) = (1, -1, 2)$
   - $\overrightarrow{AC} = C - A = (2-2, -1-1, 3+1) = (0, -2, 4)$
   - $\overrightarrow{AD} = D - A = (0-2, y-1, 0+1) = (-2, y-1, 1)$

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD:
   Thể tích khối tứ diện ABCD được tính bằng công thức:
   $$
   V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \right|
   $$
   Ta cần tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}$ trước:
   $$
   \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   0 & -2 & 4 \
   -2 & y-1 & 1
   \end{vmatrix}
   = \mathbf{i}((-2)(1) - (4)(y-1)) - \mathbf{j}((0)(1) - (4)(-2)) + \mathbf{k}((0)(y-1) - (-2)(-2))
   $$
   $$
   = \mathbf{i}(-2 - 4(y-1)) - \mathbf{j}(0 + 8) + \mathbf{k}(0 - 4)
   $$
   $$
   = \mathbf{i}(-2 - 4y + 4) - 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k}
   $$
   $$
   = \mathbf{i}(2 - 4y) - 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k}
   $$

3. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})$:
   $$
   \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) = (1, -1, 2) \cdot (2 - 4y, -8, -4)
   $$
   $$
   = 1(2 - 4y) + (-1)(-8) + 2(-4)
   $$
   $$
   = 2 - 4y + 8 - 8
   $$
   $$
   = 2 - 4y
   $$

4. Áp dụng vào công thức thể tích:
   $$
   V = \frac{1}{6} \left| 2 - 4y \right| = 5
   $$
   $$
   \left| 2 - 4y \right| = 30
   $$
   $$
   2 - 4y = 30 \quad \text{hoặc} \quad 2 - 4y = -30
   $$
   $$
   -4y = 28 \quad \text{hoặc} \quad -4y = -32
   $$
   $$
   y = -7 \quad \text{hoặc} \quad y = 8
   $$

5. Kết luận:
   Tọa độ điểm D là $D(0, -7, 0)$ hoặc $D(0, 8, 0)$.

Đáp án đúng là: C. $D(0, -7, 0)$ hoặc $D(0, 8, 0)$.