Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại C,AC=4. SA vuông với đáy và khoảng cách từ A đến(SBC) là 12/5.Tính thể tích khối chóp SABC

Question

Accepted Answer

Để tính thể tích khối chóp SABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích đáy ABC:
   - Đáy ABC là tam giác vuông tại C với AC = 4.
   - Gọi BC = a, ta có diện tích đáy:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times a = 2a
     $$

2. Tìm chiều cao SA:
   - SA vuông góc với đáy ABC, nên SA là chiều cao của chóp SABC.
   - Gọi SA = h.

3. Tính thể tích khối chóp SABC:
   - Thể tích khối chóp SABC được tính theo công thức:
     $$
     V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times 2a \times h = \frac{2ah}{3}
     $$

4. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC):
   - Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là 12/5.
   - Ta cần tìm diện tích tam giác SBC để sử dụng trong việc tính khoảng cách này.

5. Tính diện tích tam giác SBC:
   - Diện tích tam giác SBC:
     $$
     S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SC = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{h^2 + a^2}
     $$
   - Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:
     $$
     d(A, (SBC)) = \frac{2 \times V_{SABC}}{S_{SBC}}
     $$
   - Thay vào:
     $$
     \frac{12}{5} = \frac{2 \times \frac{2ah}{3}}{\frac{1}{2} \times a \times \sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{4ah}{3 \times \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{8h}{3\sqrt{h^2 + a^2}}
     $$
   - Giải phương trình:
     $$
     \frac{12}{5} = \frac{8h}{3\sqrt{h^2 + a^2}}
     $$
     $$
     36\sqrt{h^2 + a^2} = 40h
     $$
     $$
     9\sqrt{h^2 + a^2} = 10h
     $$
     $$
     81(h^2 + a^2) = 100h^2
     $$
     $$
     81a^2 = 19h^2
     $$
     $$
     a^2 = \frac{19h^2}{81}
     $$
     $$
     a = \frac{h\sqrt{19}}{9}
     $$

6. Thay $a$ vào diện tích đáy và thể tích:
   - Diện tích đáy:
     $$
     S_{ABC} = 2a = 2 \times \frac{h\sqrt{19}}{9} = \frac{2h\sqrt{19}}{9}
     $$
   - Thể tích khối chóp:
     $$
     V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{2h\sqrt{19}}{9} \times h = \frac{2h^2\sqrt{19}}{27}
     $$

7. Tìm giá trị cụ thể của $h$:
   - Từ phương trình $9\sqrt{h^2 + a^2} = 10h$:
     $$
     9\sqrt{h^2 + \left(\frac{h\sqrt{19}}{9}\right)^2} = 10h
     $$
     $$
     9\sqrt{h^2 + \frac{19h^2}{81}} = 10h
     $$
     $$
     9\sqrt{\frac{100h^2}{81}} = 10h
     $$
     $$
     9 \times \frac{10h}{9} = 10h
     $$
     $$
     10h = 10h
     $$
   - Điều này đúng, vậy $h$ có thể là bất kỳ giá trị nào thỏa mãn.

8. Kết luận:
   - Thể tích khối chóp SABC là:
     $$
     V_{SABC} = \frac{2h^2\sqrt{19}}{27}
     $$

Đáp số: Thể tích khối chóp SABC là $\frac{2h^2\sqrt{19}}{27}$.