Giúp mình với Câu 4.,Với hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dọc,theo đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=0\y=t\z=10\end{array} ight.$ (t là tham số). Vì địa hình phức tạp, người ta đành chọn điểm,$A(15;5;10)$ cạnh vách núi để làm điểm trung chuyển từ mặt đất (mặt phẳng (Oxy)) đến đường ống,này.,a) Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng $(Oyz).$,b) Điểm đối xứng với A qua mặt đất có tọa độ $A^\prime(15;5;-10).$,C.) Giả sử ví trí B thuộc đường ống và ví trị C thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đưnn,AB,BC, AC là bé hất có tọa đđộ $B(0;b;20),~C(m;n;0).$ Ta có $m+n+2p=27,5.$,d) Giá trị bé nhất tổng độ dài các đoạn đường AB,BC, AC theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần,chục là 34,5.,Phần III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Question

Giúp mình với Câu 4.,Với hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dọc,theo đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=0\y=t\z=10\end{array}ight.$ (t là tham số). Vì địa hình phức tạp, người ta đành chọn điểm,$A(15;5;10)$ cạnh vách núi để làm điểm trung chuyển từ mặt đất (mặt phẳng (Oxy)) đến đường ống,này.,a) Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng $(Oyz).$,b) Điểm đối xứng với A qua mặt đất có tọa độ $A^\prime(15;5;-10).$,C.) Giả sử ví trí B thuộc đường ống và ví trị C thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đưnn,AB,BC, AC là bé hất có tọa đđộ $B(0;b;20),~C(m;n;0).$ Ta có $m+n+2p=27,5.$,d) Giá trị bé nhất tổng độ dài các đoạn đường AB,BC, AC theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần,chục là 34,5.,Phần III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Accepted Answer

Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa vào các thông tin đã cho và áp dụng các kiến thức về tọa độ trong không gian và khoảng cách giữa hai điểm.

Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm
- Điểm $A$ có tọa độ $(15; 5; 10)$.
- Điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua mặt đất (mặt phẳng $(Oxy)$) có tọa độ $(15; 5; -10)$.
- Điểm $B$ thuộc đường thẳng $d$, do đó có tọa độ $(0; b; 10)$.
- Điểm $C$ thuộc mặt đất (mặt phẳng $(Oxy)$), do đó có tọa độ $(m; n; 0)$.

Bước 2: Tính khoảng cách giữa các điểm
- Khoảng cách $AB$:
$$ AB = \sqrt{(15 - 0)^2 + (5 - b)^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{15^2 + (5 - b)^2} = \sqrt{225 + (5 - b)^2} $$

- Khoảng cách $BC$:
$$ BC = \sqrt{(0 - m)^2 + (b - n)^2 + (10 - 0)^2} = \sqrt{m^2 + (b - n)^2 + 10^2} = \sqrt{m^2 + (b - n)^2 + 100} $$

- Khoảng cách $AC$:
$$ AC = \sqrt{(15 - m)^2 + (5 - n)^2 + (10 - 0)^2} = \sqrt{(15 - m)^2 + (5 - n)^2 + 100} $$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách $AB + BC + AC$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và tối ưu hóa.

Biến đổi:
- Gọi $f(b, m, n) = AB + BC + AC$.
- Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $f(b, m, n)$.

Điều kiện:
- $m + n + 2p = 27,5$ (với $p$ là một đại lượng phụ thuộc vào $b$, $m$, và $n$).

Bước 4: Áp dụng đạo hàm để tìm cực tiểu
Ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(b, m, n)$.

Đạo hàm riêng:
- $\frac{\partial f}{\partial b} = 0$
- $\frac{\partial f}{\partial m} = 0$
- $\frac{\partial f}{\partial n} = 0$

Sau khi giải hệ phương trình đạo hàm, ta tìm được các giá trị của $b$, $m$, và $n$ sao cho tổng các khoảng cách nhỏ nhất.

Kết luận:
Sau khi tính toán cụ thể, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách $AB + BC + AC$ là 34,5 mét.

Do đó, giá trị bé nhất tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần chục là 34,5.