Giúp e vs akkjjjjjjjjj

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = 2x^2 - 2x + 1 \), ta cần tìm đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 2x + 1) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \] \[ \frac{d}{dx}(-2x) = -2 \] \[ \frac{d}{dx}(1) = 0 \] Vậy: \[ F'(x) = 4x - 2 \] Bước 2: So sánh với các đáp án đã cho: A. \( f(x) = 6x^2 - 2 \) B. \( f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + x \) C. \( f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + x + C \) D. \( f(x) = 6x^2 - 2 + C \) Nhận thấy rằng \( F'(x) = 4x - 2 \) không trùng khớp với bất kỳ đáp án nào trong các lựa chọn trên. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong việc cung cấp các đáp án. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng câu hỏi yêu cầu tìm đạo hàm của \( F(x) \) thì đáp án đúng sẽ là: \[ f(x) = 4x - 2 \] Vậy, đáp án đúng là: \[ f(x) = 4x - 2 \] Đáp án: \( f(x) = 4x - 2 \). Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu về nguyên hàm và công thức liên quan đến nó. Nguyên hàm của một hàm số \( f(x) \) là một hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \). Điều này có thể được viết dưới dạng: \[ F'(x) = f(x) \] Khi đó, nguyên hàm của \( f(x) \) sẽ là: \[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: A. \( \int F'(x) \, dx = F(x) + C \) - Đây là phát biểu đúng vì nguyên hàm của đạo hàm của \( F(x) \) chính là \( F(x) \) cộng thêm hằng số \( C \). B. \( \int F(x) \, dx = F(x) + C \) - Phát biểu này sai vì nguyên hàm của \( F(x) \) không phải là \( F(x) \) cộng thêm hằng số \( C \). Nguyên hàm của \( F(x) \) sẽ là một hàm số khác, không phải \( F(x) \) trực tiếp. C. \( \int F(x) \, dx = F(x) + C \) - Phát biểu này cũng sai vì lý do tương tự như ở trên. D. \( F(x) \, dx = F(x) + C \) - Phát biểu này sai vì nó không đúng theo định nghĩa của nguyên hàm. Vậy, phát biểu đúng là: A. \( \int F'(x) \, dx = F(x) + C \) Đáp án: A. \( \int F'(x) \, dx = F(x) + C \) Câu 3. Để kiểm tra các phát biểu trên, chúng ta sẽ tính nguyên hàm của mỗi biểu thức và so sánh với các đáp án đã cho. A. $\int e^{-1x} dx$ - Ta có $\int e^{-1x} dx = -e^{-1x} + C$ (vì đạo hàm của $-e^{-1x}$ là $e^{-1x}$). B. $\int e^{2b} dx$ - Ta có $\int e^{2b} dx = e^{2b} \cdot x + C$ (vì $e^{2b}$ là hằng số đối với biến $x$). C. $\int e^{2x} dx$ - Ta có $\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$ (vì đạo hàm của $\frac{1}{2} e^{2x}$ là $e^{2x}$). D. $\int e^{in} dx$ - Ta có $\int e^{in} dx = e^{in} \cdot x + C$ (vì $e^{in}$ là hằng số đối với biến $x$). So sánh với các đáp án đã cho: - A. Sai vì $\int e^{-1x} dx = -e^{-1x} + C$, không phải $e^{-2x} + C$. - B. Sai vì $\int e^{2b} dx = e^{2b} \cdot x + C$, không phải $-\frac{1}{3} e^{4b} + C$. - C. Sai vì $\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$, không phải $\frac{1}{3} e^{2x} + C$. - D. Sai vì $\int e^{in} dx = e^{in} \cdot x + C$, không phải $-\frac{1}{3} e^{in}$. Như vậy, tất cả các phát biểu đều sai. Câu 4. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \( x = 0 \), \( x = \pi \), đồ thị hàm số \( y = \cos x \) và trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Giới hạn dưới là \( x = 0 \). - Giới hạn trên là \( x = \pi \). 2. Xác định biểu thức tích phân: - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) được tính bằng công thức: \[ S = \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \] - Trong trường hợp này, \( f(x) = \cos x \), \( a = 0 \), và \( b = \pi \). 3. Tính tích phân: - Ta cần tính tích phân của \( \cos x \) từ \( 0 \) đến \( \pi \): \[ S = \left| \int_0^\pi \cos x \, dx \right| \] 4. Kiểm tra dấu của \( \cos x \): - Trên khoảng \( [0, \pi] \), hàm số \( \cos x \) có giá trị âm từ \( \frac{\pi}{2} \) đến \( \pi \). Do đó, ta cần chia thành hai phần để tính diện tích đúng: \[ S = \left| \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx \right| + \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \cos x \, dx \right| \] 5. Tính từng phần tích phân: - Tích phân từ \( 0 \) đến \( \frac{\pi}{2} \): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin (0) = 1 - 0 = 1 \] - Tích phân từ \( \frac{\pi}{2} \) đến \( \pi \): \[ \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \cos x \, dx = \sin x \Bigg|_{\frac{\pi}{2}}^\pi = \sin (\pi) - \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 - 1 = -1 \] - Lấy giá trị tuyệt đối: \[ \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \cos x \, dx \right| = |-1| = 1 \] 6. Tổng diện tích: - Tổng diện tích là: \[ S = 1 + 1 = 2 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ S = \left| \int_0^\pi \cos x \, dx \right| = 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C. \, S = \int_0^\pi |\cos x| \, dx} \] Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích của khối tròn xoay khi một hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, và $x = 2$ quay quanh trục Ox. Phương pháp tính thể tích khối tròn xoay khi một hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$, và $x = b$ quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong bài toán này: - $f(x) = e^x$ - Giới hạn từ $x = 0$ đến $x = 2$ Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (e^x)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \] Do đó, phát biểu đúng là: D. $~V=\int e^{2x}dx.$ Tuy nhiên, để chính xác hơn, phát biểu đúng phải là: \[ V = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \] Vậy đáp án đúng là: D. $~V=\pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx.$ Câu 6. Để tính tích phân $\int(e^x + \cos 2x) \, dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ. 1. Tính $\int e^x \, dx$: \[ \int e^x \, dx = e^x + C_1 \] 2. Tính $\int \cos 2x \, dx$: \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C_2 \] Gộp lại, ta có: \[ \int(e^x + \cos 2x) \, dx = e^x + \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Vậy đáp án đúng là: B. $e^x + \frac{1}{2} \sin 2x + C$. Câu 7: Để giải quyết các kết luận trên, chúng ta cần hiểu rõ mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và gia tốc trong chuyển động của một vật. - \( s(t) \) là phương trình quãng đường chuyển động của một vật theo thời gian \( t \) (giây). - \( v(t) \) là phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \( t \). Theo định nghĩa: - Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \] - Quãng đường \( s(t) \) là nguyên hàm của vận tốc \( v(t) \) theo thời gian \( t \): \[ s(t) = \int v(t) \, dt + C \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng kết luận: a) \( \int s(t) \, dt = v(t) + C \) Lời giải: Sai. Nguyên hàm của \( s(t) \) không phải là \( v(t) \). Theo định nghĩa, \( v(t) \) là đạo hàm của \( s(t) \), tức là \( v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \). Do đó, \( \int s(t) \, dt \) không phải là \( v(t) \). b) \( \int s'(t) \, dt = v(t) + C \) Lời giải: Đúng. \( s'(t) \) là đạo hàm của \( s(t) \), tức là \( s'(t) = v(t) \). Do đó, \( \int s'(t) \, dt = \int v(t) \, dt = s(t) + C \). c) \( \int x(1) \, dt = x(t) + C \) Lời giải: Sai. \( x(1) \) là một hằng số, vì vậy \( \int x(1) \, dt = x(1) \cdot t + C \). d) \( \int x'(1) \, dt = x(1) + C \) Lời giải: Sai. \( x'(1) \) là đạo hàm của \( x(t) \) tại điểm \( t = 1 \), tức là một hằng số. Do đó, \( \int x'(1) \, dt = x'(1) \cdot t + C \). Tóm lại: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 8. a) Ta tính $\int^3_5(x^2+\frac{1}{x})dx$: \[ \int^3_5(x^2 + \frac{1}{x})dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \ln|x| \right]^3_5 \] Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ = \left( \frac{3^3}{3} + \ln|3| \right) - \left( \frac{5^3}{3} + \ln|5| \right) = \left( \frac{27}{3} + \ln 3 \right) - \left( \frac{125}{3} + \ln 5 \right) = (9 + \ln 3) - \left( \frac{125}{3} + \ln 5 \right) = 9 + \ln 3 - \frac{125}{3} - \ln 5 = 9 - \frac{125}{3} + \ln 3 - \ln 5 = \frac{27}{3} - \frac{125}{3} + \ln \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{27 - 125}{3} + \ln \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{-98}{3} + \ln \left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{98}{3} + \ln \left(\frac{3}{5}\right) \] b) Ta tính $\int^2_x(2x-1)^2dx$: \[ \int^2_x(2x-1)^2dx = \int^2_x(4x^2 - 4x + 1)dx \] Tính tích phân từng phần: \[ = \left[ \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]^2_x \] Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ = \left( \frac{4(2)^3}{3} - 2(2)^2 + 2 \right) - \left( \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right) = \left( \frac{4 \cdot 8}{3} - 2 \cdot 4 + 2 \right) - \left( \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right) = \left( \frac{32}{3} - 8 + 2 \right) - \left( \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right) = \left( \frac{32}{3} - \frac{24}{3} + \frac{6}{3} \right) - \left( \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right) = \left( \frac{32 - 24 + 6}{3} \right) - \left( \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right) = \left( \frac{14}{3} \right) - \left( \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right) = \frac{14}{3} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 - x \] Đáp số: a) $-\frac{98}{3} + \ln \left(\frac{3}{5}\right)$ b) $\frac{14}{3} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 - x$