gaoozjekwiss Câu 3 : Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x+5&khi~x\leq1\3x^2+4&khi~x1\end{array} ight..$ Giả sử F là nguyên hàm của f trên R thỏa mãn,$F(-1)=0.$ Giá trị của $2F(0)+3F(3)$ bằng,----- HẾT -----

Question

gaoozjekwiss Câu 3 : Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x+5&khi~x\leq1\3x^2+4&khi~x>1\end{array}ight..$ Giả sử F là nguyên hàm của f trên R thỏa mãn,$F(-1)=0.$ Giá trị của $2F(0)+3F(3)$ bằng,----- HẾT -----

Accepted Answer

Câu 3
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) $ trên từng khoảng.
2. Xác định hằng số nguyên hàm dựa vào điều kiện $ F(-1) = 0 $.
3. Tính giá trị của $ F(0) $ và $ F(3) $.
4. Tính giá trị của $ 2F(0) + 3F(3) $.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) $ trên từng khoảng.

- Khi $ x \leq 1 $:
$$ f(x) = 2x + 5 $$
Nguyên hàm của $ f(x) $ là:
$$ F(x) = \int (2x + 5) \, dx = x^2 + 5x + C_1 $$

- Khi $ x > 1 $:
$$ f(x) = 3x^2 + 4 $$
Nguyên hàm của $ f(x) $ là:
$$ F(x) = \int (3x^2 + 4) \, dx = x^3 + 4x + C_2 $$

Bước 2: Xác định hằng số nguyên hàm dựa vào điều kiện $ F(-1) = 0 $.

- Khi $ x = -1 $:
$$ F(-1) = (-1)^2 + 5(-1) + C_1 = 1 - 5 + C_1 = -4 + C_1 $$
Theo điều kiện $ F(-1) = 0 $:
$$ -4 + C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = 4 $$

Do đó, trên khoảng $ x \leq 1 $:
$$ F(x) = x^2 + 5x + 4 $$

Bước 3: Tính giá trị của $ F(0) $ và $ F(3) $.

- Khi $ x = 0 $:
$$ F(0) = 0^2 + 5(0) + 4 = 4 $$

- Khi $ x = 3 $:
$$ F(3) = 3^3 + 4(3) + C_2 = 27 + 12 + C_2 = 39 + C_2 $$

Bước 4: Xác định hằng số $ C_2 $ để đảm bảo liên tục tại $ x = 1 $.

- Khi $ x = 1 $:
$$ F(1) = 1^2 + 5(1) + 4 = 1 + 5 + 4 = 10 $$
$$ F(1) = 1^3 + 4(1) + C_2 = 1 + 4 + C_2 = 5 + C_2 $$
Do đó:
$$ 10 = 5 + C_2 \Rightarrow C_2 = 5 $$

Do đó, trên khoảng $ x > 1 $:
$$ F(x) = x^3 + 4x + 5 $$

- Khi $ x = 3 $:
$$ F(3) = 3^3 + 4(3) + 5 = 27 + 12 + 5 = 44 $$

Bước 5: Tính giá trị của $ 2F(0) + 3F(3) $.

$$ 2F(0) + 3F(3) = 2(4) + 3(44) = 8 + 132 = 140 $$

Vậy giá trị của $ 2F(0) + 3F(3) $ là 140.