Giải chi tiết

Câu 3. Trước tiên, ta cần hiểu rằng: - Vận tốc \(v(t)\) là đạo hàm của li độ \(s(t)\) theo thời gian \(t\), tức là \(v(t) = s'(t)\). - Gia tốc \(a(t)\) là đạo hàm của vận tốc \(v(t)\) theo thời gian \(t\), tức là \(a(t) = v'(t)\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương án: a) \(~\int a(t)dt=v(t)+C.\) - Ta biết rằng gia tốc \(a(t)\) là đạo hàm của vận tốc \(v(t)\). Do đó, tích phân của gia tốc \(a(t)\) theo thời gian \(t\) sẽ cho ta vận tốc \(v(t)\) cộng thêm hằng số \(C\). Điều này đúng. b) \(~\int v(t)dt=a(t)+C.\) - Ta biết rằng vận tốc \(v(t)\) là đạo hàm của li độ \(s(t)\). Do đó, tích phân của vận tốc \(v(t)\) theo thời gian \(t\) sẽ cho ta li độ \(s(t)\) cộng thêm hằng số \(C\), chứ không phải gia tốc \(a(t)\). Điều này sai. c) \(~\int v'(t)dt=a(t)+C.\) - Ta biết rằng \(v'(t)\) chính là gia tốc \(a(t)\). Do đó, tích phân của \(v'(t)\) theo thời gian \(t\) sẽ cho ta vận tốc \(v(t)\) cộng thêm hằng số \(C\), chứ không phải gia tốc \(a(t)\). Điều này sai. d) \(~\int v'(t)dt=v(t)+C.\) - Ta biết rằng \(v'(t)\) chính là gia tốc \(a(t)\). Do đó, tích phân của \(v'(t)\) theo thời gian \(t\) sẽ cho ta vận tốc \(v(t)\) cộng thêm hằng số \(C\). Điều này đúng. Từ đó, ta kết luận rằng phương án đúng là: a) \(~\int a(t)dt=v(t)+C.\) d) \(~\int v'(t)dt=v(t)+C.\) Đáp án: a) và d). Câu 1. Để tính tích phân $\int^2_1{(3x^2+\sqrt x)dx}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân từng phần của biểu thức trong dấu tích phân. \[ \int^2_1{(3x^2+\sqrt x)dx} = \int^2_1{3x^2 dx} + \int^2_1{\sqrt x dx} \] Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ. - Tính $\int^2_1{3x^2 dx}$: \[ \int^2_1{3x^2 dx} = 3 \int^2_1{x^2 dx} = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_1 = \left[ x^3 \right]^2_1 = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 \] - Tính $\int^2_1{\sqrt x dx}$: \[ \int^2_1{\sqrt x dx} = \int^2_1{x^{1/2} dx} = \left[ \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} \right]^2_1 = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]^2_1 = \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) \] Bước 3: Cộng hai kết quả lại. \[ \int^2_1{(3x^2+\sqrt x)dx} = 7 + \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) = 7 + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} = \frac{21}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} = \frac{19 + 4\sqrt{2}}{3} \] So sánh với dạng $\frac{a + b\sqrt{2}}{3}$, ta nhận thấy $a = 19$ và $b = 4$. Vậy giá trị của $a + b$ là: \[ a + b = 19 + 4 = 23 \] Đáp số: $a + b = 23$. Câu 2. Để tính diện tích phần tô đậm trên hình vẽ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. 2. Tính diện tích tam giác đều ABC. 3. Tính diện tích phần tô đậm bằng cách lấy diện tích hình tròn trừ đi diện tích tam giác đều. Bước 1: Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC - Tam giác đều ABC có cạnh \( AB = 4\sqrt{3} \) cm. - Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều được tính theo công thức: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Trong đó \( a \) là cạnh của tam giác đều. Áp dụng vào bài toán: \[ R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \text{ cm} \] Diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác đều: \[ S_{\text{hình tròn}} = \pi R^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích tam giác đều ABC Diện tích tam giác đều được tính theo công thức: \[ S_{\text{tam giác đều}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_{\text{tam giác đều}} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2 \] Bước 3: Tính diện tích phần tô đậm Diện tích phần tô đậm là diện tích hình tròn trừ đi diện tích tam giác đều: \[ S_{\text{tô đậm}} = S_{\text{hình tròn}} - S_{\text{tam giác đều}} = 16\pi - 12\sqrt{3} \text{ cm}^2 \] Chuyển đổi \( \pi \approx 3.14 \) và \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ S_{\text{tô đậm}} \approx 16 \times 3.14 - 12 \times 1.732 \] \[ S_{\text{tô đậm}} \approx 50.24 - 20.784 \] \[ S_{\text{tô đậm}} \approx 29.456 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích phần tô đậm trên hình vẽ là khoảng 29.5 cm² (làm tròn đến hàng phần chục). Câu 3. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( M(2;3;-1) \), song song với trục \( Ox \) và vuông góc với mặt phẳng \( (Q): x + 2y - 3z + 1 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (Q) \): Mặt phẳng \( (Q) \) có phương trình \( x + 2y - 3z + 1 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n}_Q = (1, 2, -3) \). 2. Xác định vectơ chỉ phương của trục \( Ox \): Trục \( Ox \) có vectơ chỉ phương là \( \vec{i} = (1, 0, 0) \). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm: Mặt phẳng cần tìm song song với trục \( Ox \) và vuông góc với mặt phẳng \( (Q) \). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với cả \( \vec{i} \) và \( \vec{n}_Q \). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n} = \vec{i} \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-3) - 0 \cdot 2) \vec{i} - (1 \cdot (-3) - 0 \cdot 1) \vec{j} + (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) \vec{k} = (0, 3, 2) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \( \vec{n} = (0, 3, 2) \). 4. Lập phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng đi qua điểm \( M(2, 3, -1) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (0, 3, 2) \) có phương trình: \[ 0(x - 2) + 3(y - 3) + 2(z + 1) = 0 \] \[ 3(y - 3) + 2(z + 1) = 0 \] \[ 3y - 9 + 2z + 2 = 0 \] \[ 3y + 2z - 7 = 0 \] So sánh với phương trình \( ax + by + cz - 7 = 0 \), ta thấy \( a = 0 \), \( b = 3 \), \( c = 2 \). 5. Tính \( a + b + c \): \[ a + b + c = 0 + 3 + 2 = 5 \] Vậy \( a + b + c = 5 \).