giúp e vs ạ Câu 18:,Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và,Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa,hơn. Tít chạy với vận tốc $v_T(t)=5\sqrt t(km/h),$,quãng đường Mít chạy được cho bởi,phương trình $S_M(t)=5t-\frac5{2\pi}\sin(2\pi t)(km)$,(với t là thời gian tính theo giờ). Nếu cuộc,đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được,10 km đầu tiên thì khoảng cách giữa hai,bạn là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm,tròn đến hàng phần trăm)

Question

Accepted Answer

Câu 18:
Để tìm khoảng cách giữa Tít và Mít khi cuộc đua kết thúc, chúng ta cần xác định thời điểm mà mỗi bạn chạy được 10 km và sau đó tính khoảng cách giữa hai bạn tại thời điểm đó.

Bước 1: Xác định thời điểm Tít chạy được 10 km

Vận tốc của Tít là:
$$ v_T(t) = 5\sqrt{t} $$

Quãng đường Tít chạy được trong thời gian $ t $ giờ là:
$$ S_T(t) = \int_0^t v_T(t) \, dt = \int_0^t 5\sqrt{t} \, dt $$

Tính tích phân:
$$ S_T(t) = 5 \int_0^t t^{1/2} \, dt = 5 \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_0^t = \frac{10}{3} t^{3/2} $$

Khi Tít chạy được 10 km:
$$ \frac{10}{3} t^{3/2} = 10 $$
$$ t^{3/2} = 3 $$
$$ t = 3^{2/3} \approx 2.08 \text{ giờ} $$

Bước 2: Xác định thời điểm Mít chạy được 10 km

Quãng đường Mít chạy được trong thời gian $ t $ giờ là:
$$ S_M(t) = 5t - \frac{5}{2\pi} \sin(2\pi t) $$

Khi Mít chạy được 10 km:
$$ 5t - \frac{5}{2\pi} \sin(2\pi t) = 10 $$
$$ t - \frac{1}{2\pi} \sin(2\pi t) = 2 $$

Ta thấy rằng $ \sin(2\pi t) $ dao động từ -1 đến 1, do đó $ \frac{1}{2\pi} \sin(2\pi t) $ dao động từ $-\frac{1}{2\pi}$ đến $\frac{1}{2\pi}$. Vì vậy, $ t $ sẽ gần bằng 2.

Giả sử $ t \approx 2 $:
$$ 2 - \frac{1}{2\pi} \sin(4\pi) = 2 $$
$$ \sin(4\pi) = 0 $$

Do đó, $ t = 2 $ giờ là thời điểm Mít chạy được 10 km.

Bước 3: Tính khoảng cách giữa Tít và Mít khi cuộc đua kết thúc

Thời điểm cuộc đua kết thúc là khi Tít chạy được 10 km, tức là $ t = 2.08 $ giờ.

Quãng đường Mít chạy được trong 2.08 giờ:
$$ S_M(2.08) = 5 \times 2.08 - \frac{5}{2\pi} \sin(2\pi \times 2.08) $$
$$ S_M(2.08) = 10.4 - \frac{5}{2\pi} \sin(4.16\pi) $$
$$ \sin(4.16\pi) \approx \sin(0.16\pi) \approx 0.499 $$
$$ S_M(2.08) \approx 10.4 - \frac{5}{2\pi} \times 0.499 \approx 10.4 - 0.398 \approx 10.002 \text{ km} $$

Khoảng cách giữa Tít và Mít:
$$ |S_T(2.08) - S_M(2.08)| = |10 - 10.002| = 0.002 \text{ km} $$

Vậy khoảng cách giữa hai bạn là:
$$ \boxed{0.00 \text{ km}} $$