Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 1. (2,0 điểm) Cho $A=(\frac{x+\sqrt x+1}{x+\sqrt x-2}+\frac1{\sqrt x-1}+\frac1{\sqrt x+2}):\frac1{x-1}(x\geq0;x
e1)$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tìm các số nguyên x sao cho $\frac1A$ là số nguyên dương

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Rút gọn biểu thức $ A $

Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $ và $ x \neq 1 $.

Biểu thức $ A $ là:
$$ A = \left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) : \frac{1}{x - 1} $$

Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức $ A $:

1. Rút gọn phân thức đầu tiên:
$$ \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} $$

2. Rút gọn phân thức thứ hai:
$$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} $$

3. Rút gọn phân thức thứ ba:
$$ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} $$

4. Rút gọn tổng của ba phân thức trên:
$$ \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} $$

5. Chia tổng này cho $\frac{1}{x - 1}$:
$$ \left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) \times (x - 1) $$

b) Tìm các số nguyên $ x $ sao cho $\frac{1}{A}$ là số nguyên dương

Để $\frac{1}{A}$ là số nguyên dương, $ A $ phải là số nguyên dương. Chúng ta sẽ tìm các giá trị $ x $ thỏa mãn điều kiện này.

Chúng ta đã biết rằng:
$$ A = \left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) \times (x - 1) $$

Để $ A $ là số nguyên dương, chúng ta cần kiểm tra các giá trị $ x $ nguyên dương thỏa mãn điều kiện $ x \geq 0 $ và $ x \neq 1 $.

Chúng ta thử các giá trị $ x $ nguyên dương nhỏ:

- $ x = 0 $:
  $$ A = \left( \frac{0 + 0 + 1}{0 + 0 - 2} + \frac{1}{0 - 1} + \frac{1}{0 + 2} \right) \times (0 - 1) $$
  $$ A = \left( \frac{1}{-2} + \frac{1}{-1} + \frac{1}{2} \right) \times (-1) $$
  $$ A = \left( -\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} \right) \times (-1) $$
  $$ A = (-1) \times (-1) = 1 $$
  Vậy $ \frac{1}{A} = 1 $ là số nguyên dương.

- $ x = 4 $:
  $$ A = \left( \frac{4 + 2 + 1}{4 + 2 - 2} + \frac{1}{2 - 1} + \frac{1}{2 + 2} \right) \times (4 - 1) $$
  $$ A = \left( \frac{7}{4} + 1 + \frac{1}{4} \right) \times 3 $$
  $$ A = \left( \frac{7}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \right) \times 3 $$
  $$ A = \left( \frac{12}{4} \right) \times 3 $$
  $$ A = 3 \times 3 = 9 $$
  Vậy $ \frac{1}{A} = \frac{1}{9} $ không là số nguyên dương.

Do đó, chỉ có $ x = 0 $ là giá trị thỏa mãn điều kiện.

Đáp số:
a) $ A = 1 $
b) Các số nguyên $ x $ sao cho $\frac{1}{A}$ là số nguyên dương là $ x = 0 $.