Bất phương trình mũ và logarit Họ, tên học sinh:. Mã đẽ thi,Lớp: ....H........ 132,Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\log^2_2x-5\log_2x+4\geq0.$,$S=(-\infty;2]\cup[16;+\infty).$ $D.~S=[2;16].$,$C.~S=(0;2]\cup[16;+\infty).$ $D.~S=(-\infty;-2)\cup(3;+\infty).$,Câu 2: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số mũ?,$A.~y=\pi^x.$ $B.~y=\pi^{-x}.$ $C.~y=x^{-\pi}.$ $D.~y=e^x$,Câu 3: Số nghiệm của phương trình $6.9^x-13.6^x+6.4^x=0$ là,A. 3 B. 0 C. 2 D. 1,Câu 4: Tập xác định D của hàm số $y=\log_{x-1}\frac x{2-x}$ là:,$A.~D=(2;+\infty)$ $B.~D=(1;+\infty)$ $C.~D=(1;2)$ $D.~D=(0;1)$,Câu 5: Bất phương trình: $(\frac12)^{x^2-2x}\frac18$ có tập nghiệm là $S=(a;b).$ Khi đó giá trị của $a-b$ là:,-. - B. -4 C. 2 D. 4,Câu 6: Bất phương trình $\log^2_{\frac12}x+3\log_{\frac12}x+2\leq0$ có tập nghiệm $S=[a;b].$ Giá trị của $a^2\sqrt b$ bằng,A. 16. B. 12. C. 8. D. 4.,Câu 7: Nghiệm phương trình $\log_2(x+1)=3$ là,$x=7.$ $B.~x=8.$ $C.~x=9.$ $D.~x=10.$,Câu 8: Nghiệm của phương trình $9^x-4.3^x-45=0$ là,$x=\frac12$ $B.~x=3$ $C.~x=\frac13$ $D.~x=2$,Câu 9: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực D ?,$y=(\frac2e)^x.$ $y=(\frac\pi3)^x.$ $C.~\log_{\frac\pi4}(2x^2+1).$ $y=\log_{\frac12}x.$,Câu 10: Tìm số x nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $(\frac15)^{x^2-2x}\geq\frac1{125}$,A. 2 B. -1 C. -3. D. -2.,Câu 11: Tìm tập nghiệm S của phương trình $\sqrt2^{x^2+2x+3}=8^x.$,$S=\{-3;1\}.$ $B.~S=\{1;3\}.$ $C.~S=\{-1;3\}.$ $D.~S=\{-3\}.$,Câu 12: Tập nghiệm của phương trình: $\log_2(2^x-1)=-2$ là:,$\{2-\log_25\}.$ $\{2+\log_25\}.$ $C.~\{\log_25\}.$ $ extcircled D.~\{-2+\log_25\}.$,Câu 13: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn,"phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàmssốđđó là hàm số nào?,Trang 1/2 - Mã đề thi 132

Question

Bất phương trình mũ và logarit Họ, tên học sinh:. Mã đẽ thi,Lớp: ....H........ 132,Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\log^2_2x-5\log_2x+4\geq0.$,$S=(-\infty;2]\cup[16;+\infty).$ $D.~S=[2;16].$,$C.~S=(0;2]\cup[16;+\infty).$ $D.~S=(-\infty;-2)\cup(3;+\infty).$,Câu 2: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số mũ?,$A.~y=\pi^x.$ $B.~y=\pi^{-x}.$ $C.~y=x^{-\pi}.$ $D.~y=e^x$,Câu 3: Số nghiệm của phương trình $6.9^x-13.6^x+6.4^x=0$ là,A. 3 B. 0 C. 2 D. 1,Câu 4: Tập xác định D của hàm số $y=\log_{x-1}\frac x{2-x}$ là:,$A.~D=(2;+\infty)$ $B.~D=(1;+\infty)$ $C.~D=(1;2)$ $D.~D=(0;1)$,Câu 5: Bất phương trình: $(\frac12)^{x^2-2x}>\frac18$ có tập nghiệm là $S=(a;b).$ Khi đó giá trị của $a-b$ là:,-. - B. -4 C. 2 D. 4,Câu 6: Bất phương trình $\log^2_{\frac12}x+3\log_{\frac12}x+2\leq0$ có tập nghiệm $S=[a;b].$ Giá trị của $a^2\sqrt b$ bằng,A. 16. B. 12. C. 8. D. 4.,Câu 7: Nghiệm phương trình $\log_2(x+1)=3$ là,$x=7.$ $B.~x=8.$ $C.~x=9.$ $D.~x=10.$,Câu 8: Nghiệm của phương trình $9^x-4.3^x-45=0$ là,$x=\frac12$ $B.~x=3$ $C.~x=\frac13$ $D.~x=2$,Câu 9: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực D ?,$y=(\frac2e)^x.$ $y=(\frac\pi3)^x.$ $C.~\log_{\frac\pi4}(2x^2+1).$ $y=\log_{\frac12}x.$,Câu 10: Tìm số x nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $(\frac15)^{x^2-2x}\geq\frac1{125}$,A. 2 B. -1 C. -3. D. -2.,Câu 11: Tìm tập nghiệm S của phương trình $\sqrt2^{x^2+2x+3}=8^x.$,$S=\{-3;1\}.$ $B.~S=\{1;3\}.$ $C.~S=\{-1;3\}.$ $D.~S=\{-3\}.$,Câu 12: Tập nghiệm của phương trình: $\log_2(2^x-1)=-2$ là:,$\{2-\log_25\}.$ $\{2+\log_25\}.$ $C.~\{\log_25\}.$ $	extcircled D.~\{-2+\log_25\}.$,Câu 13: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn,"phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàmssốđđó là hàm số nào?,Trang 1/2 - Mã đề thi 132

Accepted Answer

Câu 1: Để giải bất phương trình $\log^2_2x - 5\log_2x + 4 \geq 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn phụ: Gọi $t = \log_2x$. Bất phương trình trở thành: $$ t^2 - 5t + 4 \geq 0 $$ 2. Giải bất phương trình bậc hai: Ta giải phương trình bậc hai $t^2 - 5t + 4 = 0$ để tìm các nghiệm: $$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$ Tìm nghiệm của phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: $$ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} $$ Vậy ta có hai nghiệm: $$ t_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 $$ 3. Phân tích dấu của bất phương trình: Bất phương trình $t^2 - 5t + 4 \geq 0$ có dạng $(t - 1)(t - 4) \geq 0$. Ta vẽ bảng xét dấu: $$ \begin{array}{c|ccc} t & (-\infty, 1) & (1, 4) & (4, +\infty) \ \hline t - 1 & - & + & + \ t - 4 & - & - & + \ (t - 1)(t - 4) & + & - & + \ \end{array} $$ Từ bảng xét dấu, ta thấy $(t - 1)(t - 4) \geq 0$ khi $t \leq 1$ hoặc $t \geq 4$. 4. Quay lại biến ban đầu: Ta có $t = \log_2x$. Do đó: $$ \log_2x \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad \log_2x \geq 4 $$ Điều này tương đương với: $$ x \leq 2 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 16 $$ 5. Xác định điều kiện xác định: Đối với $\log_2x$, ta cần $x > 0$. Kết hợp điều kiện này với các kết quả trên, ta có: $$ 0 < x \leq 2 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 16 $$ 6. Tập nghiệm cuối cùng: Tập nghiệm của bất phương trình là: $$ S = (0, 2] \cup [16, +\infty) $$ Vậy đáp án đúng là: C. $~S = (0, 2] \cup [16, +\infty)$ Câu 2: Để xác định hàm số nào trong các lựa chọn không phải là hàm số mũ, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của hàm số mũ. Hàm số mũ có dạng $ y = a^x $, trong đó $ a $ là hằng số dương khác 1 và $ x $ là biến độc lập. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. $ y = \pi^x $ - Đây là hàm số mũ vì nó có dạng $ y = a^x $ với $ a = \pi $. B. $ y = \pi^{-x} $ - Đây cũng là hàm số mũ vì nó có thể viết lại dưới dạng $ y = (\pi^{-1})^x $, tức là $ y = b^x $ với $ b = \pi^{-1} $. C. $ y = x^{-\pi} $ - Đây không phải là hàm số mũ vì nó có dạng $ y = x^a $, trong đó $ x $ là biến và $ a $ là hằng số. Đây là hàm lũy thừa. D. $ y = e^x $ - Đây là hàm số mũ vì nó có dạng $ y = a^x $ với $ a = e $. Như vậy, hàm số không phải là hàm số mũ là: C. $ y = x^{-\pi} $ Đáp án: C. $ y = x^{-\pi} $. Câu 3: Để giải phương trình $6 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 6 \cdot 4^x = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả hai vế của phương trình cho $4^x$ để đơn giản hóa phương trình: $$ 6 \left(\frac{9^x}{4^x}\right) - 13 \left(\frac{6^x}{4^x}\right) + 6 = 0 $$ Bước 2: Ta nhận thấy rằng $\frac{9^x}{4^x} = \left(\frac{9}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}$ và $\frac{6^x}{4^x} = \left(\frac{6}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Do đó, phương trình trở thành: $$ 6 \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}\right) - 13 \left(\left(\frac{3}{2}\right)^x\right) + 6 = 0 $$ Bước 3: Đặt $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Phương trình trở thành: $$ 6t^2 - 13t + 6 = 0 $$ Bước 4: Giải phương trình bậc hai $6t^2 - 13t + 6 = 0$ bằng công thức nghiệm: $$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Trong đó, $a = 6$, $b = -13$, và $c = 6$. Thay vào công thức: $$ t = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{13 \pm 5}{12} $$ Bước 5: Tính các giá trị của $t$: $$ t_1 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $$ $$ t_2 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$ Bước 6: Quay lại với biến $x$: - Nếu $t = \frac{3}{2}$ thì $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{3}{2}$. Điều này đúng khi $x = 1$. - Nếu $t = \frac{2}{3}$ thì $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{2}{3}$. Điều này đúng khi $x = -1$. Vậy phương trình $6 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 6 \cdot 4^x = 0$ có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = -1$. Đáp án: C. 2 Câu 4: Để tìm tập xác định của hàm số $ y = \log_{x-1} \frac{x}{2-x} $, ta cần đảm bảo các điều kiện sau: 1. Điều kiện cơ bản của hàm số logarit: - Cơ số $ x-1 > 0 $ và $ x-1 \neq 1 $ - Số mũ $ \frac{x}{2-x} > 0 $ 2. Xét điều kiện cơ số: - $ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 $ - $ x - 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2 $ 3. Xét điều kiện số mũ: - $ \frac{x}{2-x} > 0 $ Để phân số $ \frac{x}{2-x} $ dương, ta xét các trường hợp: - $ x > 0 $ và $ 2 - x > 0 \Rightarrow x < 2 $ - $ x < 0 $ và $ 2 - x < 0 \Rightarrow x > 2 $ (không thỏa mãn vì $ x < 0 $) Kết hợp lại, ta có $ 0 < x < 2 $. 4. Kết hợp các điều kiện: - Từ điều kiện cơ số: $ x > 1 $ và $ x \neq 2 $ - Từ điều kiện số mũ: $ 0 < x < 2 $ Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $$ 1 < x < 2 $$ Vậy tập xác định của hàm số là $ D = (1; 2) $. Đáp án đúng là: C. $ D = (1; 2) $. Câu 5: Để giải bất phương trình $(\frac{1}{2})^{x^2-2x} > \frac{1}{8}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại bất phương trình dưới dạng cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{8}$ có thể viết thành $(\frac{1}{2})^3$. Do đó, bất phương trình trở thành: $$ (\frac{1}{2})^{x^2-2x} > (\frac{1}{2})^3 $$ 2. So sánh mũ của hai vế: Vì cơ số $\frac{1}{2}$ là một số nhỏ hơn 1, nên khi mũ của nó tăng lên thì giá trị của lũy thừa sẽ giảm đi. Do đó, để bất phương trình đúng, ta cần: $$ x^2 - 2x < 3 $$ 3. Giải bất phương trình bậc hai: Ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để giải bất phương trình bậc hai: $$ x^2 - 2x - 3 < 0 $$ Ta giải phương trình bậc hai tương ứng: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Tìm nghiệm của phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $$ Vậy ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$ 4. Xác định khoảng nghiệm: Bất phương trình $x^2 - 2x - 3 < 0$ đúng trong khoảng giữa hai nghiệm: $$ -1 < x < 3 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-1; 3)$. 5. Tính giá trị của $a - b$: Trong tập nghiệm $S = (-1; 3)$, ta có $a = -1$ và $b = 3$. Do đó: $$ a - b = -1 - 3 = -4 $$ Vậy giá trị của $a - b$ là $\boxed{-4}$. Câu 6: Để giải bất phương trình $\log^2_{\frac12}x + 3\log_{\frac12}x + 2 \leq 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn phụ: Gọi $t = \log_{\frac12}x$. Bất phương trình trở thành: $$ t^2 + 3t + 2 \leq 0 $$ 2. Giải bất phương trình bậc hai: Ta giải phương trình bậc hai $t^2 + 3t + 2 = 0$ để tìm các nghiệm: $$ t^2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2) = 0 $$ Suy ra: $$ t = -1 \quad \text{hoặc} \quad t = -2 $$ Bất phương trình $t^2 + 3t + 2 \leq 0$ có nghiệm trong khoảng giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai: $$ -2 \leq t \leq -1 $$ 3. Quay về biến ban đầu: Thay lại $t = \log_{\frac12}x$, ta có: $$ -2 \leq \log_{\frac12}x \leq -1 $$ Ta biết rằng $\log_{\frac12}x = y$ suy ra $x = \left(\frac{1}{2}\right)^y$. Do đó: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \leq x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} $$ $$ 2 \leq x \leq 4 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = [2; 4]$. 4. Tìm giá trị của $a^2 \sqrt{b}$: Trong tập nghiệm $S = [2; 4]$, ta có $a = 2$ và $b = 4$. Do đó: $$ a^2 \sqrt{b} = 2^2 \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8 $$ Vậy giá trị của $a^2 \sqrt{b}$ là 8. Đáp án đúng là: C. 8. Câu 7: Để giải phương trình $\log_2(x+1)=3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_2(x+1)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 1 > 0$. Điều này dẫn đến $x > -1$. Bước 2: Giải phương trình: - Ta có $\log_2(x+1) = 3$. Điều này có nghĩa là $x + 1 = 2^3$. - Tính toán $2^3 = 8$, do đó $x + 1 = 8$. - Giải phương trình $x + 1 = 8$ để tìm $x$: $x = 8 - 1 = 7$. Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định ĐKXĐ là $x > -1$. Với $x = 7$, điều kiện này được thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình $\log_2(x+1)=3$ là $x = 7$. Đáp án đúng là: A. $x = 7$. Câu 8: Để giải phương trình $9^x - 4 \cdot 3^x - 45 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình này không chứa các ràng buộc đặc biệt về biến số $ x $, do đó ĐKXĐ là $ x \in \mathbb{R} $. Bước 2: Thay $ 9^x $ bằng $ (3^2)^x = (3^x)^2 $ Phương trình trở thành: $$ (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x - 45 = 0 $$ Bước 3: Đặt $ y = 3^x $ Phương trình trở thành: $$ y^2 - 4y - 45 = 0 $$ Bước 4: Giải phương trình bậc hai $ y^2 - 4y - 45 = 0 $ Ta sử dụng công thức giải phương trình bậc hai $ ay^2 + by + c = 0 $: $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Ở đây, $ a = 1 $, $ b = -4 $, $ c = -45 $. Thay vào công thức: $$ y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45)}}{2 \cdot 1} $$ $$ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2} $$ $$ y = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2} $$ $$ y = \frac{4 \pm 14}{2} $$ Từ đó, ta có hai nghiệm: $$ y_1 = \frac{4 + 14}{2} = 9 $$ $$ y_2 = \frac{4 - 14}{2} = -5 $$ Bước 5: Lấy lại $ x $ từ $ y = 3^x $ - Với $ y_1 = 9 $: $$ 3^x = 9 $$ $$ 3^x = 3^2 $$ $$ x = 2 $$ - Với $ y_2 = -5 $: $$ 3^x = -5 $$ Phương trình này vô nghiệm vì $ 3^x > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là $ x = 2 $. Đáp án đúng là: D. $ x = 2 $. Câu 9: Để xác định hàm số nào nghịch biến trên tập số thực D, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của từng hàm số. 1. Hàm số $y = \left(\frac{2}{e}\right)^x$: - Đây là hàm số mũ với cơ số $\frac{2}{e}$, trong đó $\frac{2}{e} < 1$. - Hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1 là hàm số nghịch biến trên tập số thực. 2. Hàm số $y = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x$: - Đây là hàm số mũ với cơ số $\frac{\pi}{3}$, trong đó $\frac{\pi}{3} > 1$. - Hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 là hàm số đồng biến trên tập số thực. 3. Hàm số $y = \log_{\frac{\pi}{4}}(2x^2 + 1)$: - Đây là hàm số logarit với cơ số $\frac{\pi}{4}$, trong đó $\frac{\pi}{4} < 1$. - Hàm số logarit với cơ số nhỏ hơn 1 là hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó. Tuy nhiên, hàm số này chỉ nghịch biến trên tập xác định của $2x^2 + 1$, tức là trên tập số thực. 4. Hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}}x$: - Đây là hàm số logarit với cơ số $\frac{1}{2}$, trong đó $\frac{1}{2} < 1$. - Hàm số logarit với cơ số nhỏ hơn 1 là hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó, tức là trên $(0, +\infty)$. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng hàm số $y = \left(\frac{2}{e}\right)^x$ là hàm số nghịch biến trên tập số thực D. Vậy đáp án đúng là: $y = \left(\frac{2}{e}\right)^x$. Câu 10: Để giải bất phương trình $(\frac{1}{5})^{x^2 - 2x} \geq \frac{1}{125}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại $\frac{1}{125}$ dưới dạng lũy thừa cơ sở 5: $$ \frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3 $$ Bước 2: Thay vào bất phương trình: $$ (\frac{1}{5})^{x^2 - 2x} \geq (\frac{1}{5})^3 $$ Bước 3: So sánh các mũ của cùng cơ sở: $$ x^2 - 2x \leq 3 $$ Bước 4: Chuyển tất cả về một vế để giải bất phương trình bậc hai: $$ x^2 - 2x - 3 \leq 0 $$ Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Phương trình này có thể được phân tích thành: $$ (x - 3)(x + 1) = 0 $$ Vậy nghiệm của phương trình là: $$ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 $$ Bước 6: Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình bằng phương pháp xét dấu: $$ (x - 3)(x + 1) \leq 0 $$ Kết hợp các đoạn trên số thực, ta có: $$ -1 \leq x \leq 3 $$ Bước 7: Tìm giá trị nhỏ nhất trong khoảng nghiệm: Trong khoảng $[-1, 3]$, giá trị nhỏ nhất là $-1$. Vậy đáp án đúng là: $$ \boxed{-1} $$ Câu 11: Để giải phương trình $\sqrt{2}^{x^2 + 2x + 3} = 8^x$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số: - Ta biết rằng $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ và $8 = 2^3$. - Do đó, phương trình trở thành: $$ (\sqrt{2})^{x^2 + 2x + 3} = (2^3)^x $$ $$ (2^{\frac{1}{2}})^{x^2 + 2x + 3} = 2^{3x} $$ 2. Áp dụng quy tắc lũy thừa: - $(2^{\frac{1}{2}})^{x^2 + 2x + 3} = 2^{\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 3)}$ - Phương trình trở thành: $$ 2^{\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 3)} = 2^{3x} $$ 3. So sánh các mũ lũy thừa: - Vì hai vế đều có cơ số là 2, ta so sánh các mũ lũy thừa: $$ \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 3) = 3x $$ 4. Giải phương trình bậc hai: - Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: $$ x^2 + 2x + 3 = 6x $$ - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $$ x^2 + 2x + 3 - 6x = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ 5. Phân tích phương trình bậc hai: - Tìm nghiệm của phương trình bậc hai $x^2 - 4x + 3 = 0$ bằng cách sử dụng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Với $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$: $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ x = \frac{4 \pm 2}{2} $$ $$ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 $$ 6. Kiểm tra điều kiện xác định: - Phương trình ban đầu không có điều kiện hạn chế thêm nào khác, nên cả hai nghiệm đều thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1; 3\}$. Đáp án đúng là: B. $S = \{1; 3\}$. Câu 12: Để giải phương trình $\log_2(2^x - 1) = -2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: $$ 2^x - 1 > 0 \implies 2^x > 1 \implies x > 0 $$ 2. Giải phương trình logarit: Ta có: $$ \log_2(2^x - 1) = -2 $$ Điều này có nghĩa là: $$ 2^x - 1 = 2^{-2} $$ Biết rằng $2^{-2} = \frac{1}{4}$, ta có: $$ 2^x - 1 = \frac{1}{4} $$ Do đó: $$ 2^x = \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} $$ 3. Tìm giá trị của $ x $: Ta có: $$ 2^x = \frac{5}{4} $$ Lấy logarit cơ sở 2 của cả hai vế: $$ x = \log_2\left(\frac{5}{4}\right) $$ Ta biết rằng: $$ \log_2\left(\frac{5}{4}\right) = \log_2(5) - \log_2(4) = \log_2(5) - 2 $$ Vậy: $$ x = \log_2(5) - 2 $$ 4. Kiểm tra điều kiện xác định: Ta đã xác định $ x > 0 $. Kiểm tra giá trị $ x = \log_2(5) - 2 $: $$ \log_2(5) \approx 2.3219 \quad \text{(vì } 2^2 < 5 < 2^3 \text{)} $$ Do đó: $$ \log_2(5) - 2 \approx 2.3219 - 2 = 0.3219 > 0 $$ Vậy giá trị này thỏa mãn điều kiện $ x > 0 $. Kết luận, tập nghiệm của phương trình là: $$ \boxed{\{-2 + \log_2(5)\}} $$ Câu 13: Để xác định hàm số của đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. Giả sử các phương án là: A. $ y = x^2 $ B. $ y = x^3 $ C. $ y = \sin(x) $ D. $ y = e^x $ Bước 1: Xác định các đặc điểm của đồ thị: - Đồ thị đi qua gốc tọa độ (0,0). - Đồ thị có dạng cong lên phía trên (tăng dần). Bước 2: Kiểm tra từng phương án: - Phương án A: $ y = x^2 $ + Đồ thị của $ y = x^2 $ là một parabol mở rộng lên trên và đi qua gốc tọa độ (0,0). Tuy nhiên, nó không có dạng cong lên phía trên như trong hình. - Phương án B: $ y = x^3 $ + Đồ thị của $ y = x^3 $ đi qua gốc tọa độ (0,0) và có dạng cong lên phía trên khi $ x > 0 $ và cong xuống phía dưới khi $ x < 0 $. Điều này phù hợp với đồ thị trong hình. - Phương án C: $ y = \sin(x) $ + Đồ thị của $ y = \sin(x) $ là một sóng sin lặp lại và không đi qua gốc tọa độ (0,0) theo cách mà đồ thị trong hình thể hiện. - Phương án D: $ y = e^x $ + Đồ thị của $ y = e^x $ đi qua điểm (0,1) và không đi qua gốc tọa độ (0,0). Do đó, nó không phù hợp với đồ thị trong hình. Bước 3: Kết luận: Hàm số của đường cong trong hình là $ y = x^3 $. Đáp án: B. $ y = x^3 $