hhshsshdbđjd Câu n. w.......,Câu 5: Biết $\int^3_j\frac{x+2}xdx=a+b\ln c,$ với $a,b,c\in\mathbb Z,c

Question

hhshsshdbđjd Câu n. w.......,Câu 5: Biết $\int^3_j\frac{x+2}xdx=a+b\ln c,$ với $a,b,c\in\mathbb Z,c<9.$ Tính tổng $S=a+b+c$,Câu 6: Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số $a(t)=10\sin t(m/s^2).$ Lúc bắt đầu chuyển,A.A ÀÀ.. đ

Accepted Answer

Câu 5:
Để tính tích phân $\int^3_j\frac{x+2}{x}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tách phân thức trong tích phân:
$$
\int^3_j \frac{x+2}{x} dx = \int^3_j \left(1 + \frac{2}{x}\right) dx
$$

Bước 2: Tính tích phân từng phần:
$$
\int^3_j \left(1 + \frac{2}{x}\right) dx = \int^3_j 1 \, dx + \int^3_j \frac{2}{x} \, dx
$$

Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$
\int^3_j 1 \, dx = [x]^3_j = 3 - j
$$
$$
\int^3_j \frac{2}{x} \, dx = 2 \int^3_j \frac{1}{x} \, dx = 2 [\ln |x|]^3_j = 2 (\ln 3 - \ln j)
$$

Bước 4: Kết hợp các kết quả lại:
$$
\int^3_j \frac{x+2}{x} dx = (3 - j) + 2 (\ln 3 - \ln j)
$$

Bước 5: So sánh với dạng $a + b \ln c$:
$$
3 - j + 2 \ln 3 - 2 \ln j = a + b \ln c
$$

Ta nhận thấy rằng:
$$
a = 3 - j
$$
$$
b = 2
$$
$$
c = 3
$$

Bước 6: Xác định giá trị của $j$ để $c < 9$. Vì $c = 3$, nên $j$ có thể là bất kỳ giá trị nào sao cho $3 - j$ là số nguyên. Ta chọn $j = 1$ để đơn giản hóa:
$$
a = 3 - 1 = 2
$$
$$
b = 2
$$
$$
c = 3
$$

Bước 7: Tính tổng $S = a + b + c$:
$$
S = 2 + 2 + 3 = 7
$$

Vậy, tổng $S = 7$.

Câu 6:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về đạo hàm và nguyên hàm trong vật lý học.

Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu
- Gia tốc của vật là $ a(t) = 10 \sin t $.
- Vận tốc $ v(t) $ là nguyên hàm của gia tốc $ a(t) $.

Bước 2: Tính vận tốc $ v(t) $
$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int 10 \sin t \, dt = -10 \cos t + C $$
Trong đó, $ C $ là hằng số nguyên hàm.

Bước 3: Xác định hằng số $ C $
- Vào thời điểm ban đầu $ t = 0 $, vận tốc ban đầu $ v(0) = 0 $.
$$ v(0) = -10 \cos 0 + C = 0 $$
$$ -10 \cdot 1 + C = 0 $$
$$ C = 10 $$

Do đó, vận tốc của vật là:
$$ v(t) = -10 \cos t + 10 $$

Bước 4: Xác định vị trí ban đầu
- Vị trí $ s(t) $ là nguyên hàm của vận tốc $ v(t) $.

Bước 5: Tính vị trí $ s(t) $
$$ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (-10 \cos t + 10) \, dt = -10 \sin t + 10t + D $$
Trong đó, $ D $ là hằng số nguyên hàm.

Bước 6: Xác định hằng số $ D $
- Vào thời điểm ban đầu $ t = 0 $, vị trí ban đầu $ s(0) = 0 $.
$$ s(0) = -10 \sin 0 + 10 \cdot 0 + D = 0 $$
$$ 0 + 0 + D = 0 $$
$$ D = 0 $$

Do đó, vị trí của vật là:
$$ s(t) = -10 \sin t + 10t $$

Kết luận:
- Vận tốc của vật là $ v(t) = -10 \cos t + 10 $.
- Vị trí của vật là $ s(t) = -10 \sin t + 10t $.