giải giúp mình nhé a) Độ dài các đoạn thăng BC, DD, DC,,c) Độ dài đường phân giác AD,Bài 10: Cho tam giác ABC có AH là đường trung tuyến. Gọi HD, HE lần lượt là các đường phân giác của góc,AHB; AHC ( với D, E lần lượt thuộc cạnh AB, AC),a) Chứng minh: AD.AC=AE.AB b) Chứng minh: $ĐE//BC.$,c) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để DE là đường trung bình của tam giác đó.

Question

Accepted Answer

a, Xét $\displaystyle \vartriangle ABH$ có: HD là phân giác của $\displaystyle \widehat{AHB}$
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AD}{BD} =\frac{HA}{HB}$ (tính chất)$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AD}{AD+BD} =\frac{HA}{HB+HA} \Longrightarrow \frac{AD}{AB} =\frac{HA}{HB+HA}$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle ACH$ có: HE là phân giác của $\displaystyle \widehat{AHC}$
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AE}{EC} =\frac{AH}{HC}$ (tính chất)$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AE}{EC+AE} =\frac{AH}{HC+AH} \Longrightarrow \frac{AE}{AC} =\frac{AH}{HC+AH}$ (2)
Vì H là trung điểm của BC nên HB=HC (3)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle \frac{AD}{AB} =\frac{AE}{AC} \Longrightarrow AD.AC=AE.AB$
b, Ta có: $\displaystyle AD.AC=AE.AB$
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AD}{AB} =\frac{AE}{AC}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có: $\displaystyle D\in AB,\ E\in AC,\frac{AD}{AB} =\frac{AE}{AC}$
Do đó $\displaystyle DE\parallel BC$ (định lí Talet đảo)
c, DE là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Longrightarrow D,E$ lần lượt là trung điểm của AB, AC
Mà HD, HE là các phân giác của $\displaystyle \vartriangle AHB,\ \vartriangle AHC$
Do đó $\displaystyle \vartriangle AHB$ cân tại H và $\displaystyle \vartriangle AHC$ cân tại H
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
\widehat{HAB} =\widehat{HBA} & \
\widehat{HCA} =\widehat{HAC} &
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{ABC} =\widehat{ACB} =\frac{\widehat{BAC}}{2}$
Mà $\displaystyle \widehat{BAC} +\widehat{ABC} +\widehat{ACB} =180^{0}$ (tổng các góc trong tam giác)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BAC} =90^{0}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông cân tại A