Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của căn bậc hai và lũy thừa.
Bước 1: Xác định căn bậc hai của .
Ta có:
Bước 2: Áp dụng tính chất lũy thừa :
Bước 3: Tính căn bậc hai của :
Vậy, .
Do đó, đáp án đúng là:
D. .
Câu 2)
Ta xét từng khẳng định:
A.
Theo tính chất của lôgarit tự nhiên, ta có:
Khẳng định này là đúng.
B.
Tính chất của lôgarit tự nhiên không cho phép ta phân tích thành tổng của hai lôgarit như vậy. Do đó, khẳng định này là sai.
C.
Tính chất của lôgarit tự nhiên không cho phép ta phân tích thành tích của hai lôgarit như vậy. Do đó, khẳng định này là sai.
D.
Tính chất của lôgarit tự nhiên không cho phép ta phân tích thành tích của hai lôgarit như vậy. Do đó, khẳng định này là sai.
Vậy khẳng định đúng là:
A.
Câu 3)
Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với đặc điểm của đồ thị.
A. :
- Đây là hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1, nên đồ thị của nó sẽ tăng nhanh khi tăng và đi qua điểm (0,1).
B. :
- Đây là hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1, nên đồ thị của nó sẽ tăng chậm khi tăng và đi qua điểm (1,0).
C. :
- Đây là hàm số logarit tự nhiên (cơ số e), nên đồ thị của nó cũng sẽ tăng chậm khi tăng và đi qua điểm (1,0).
D. :
- Đây là hàm số mũ với cơ số e (khoảng 2.718), nên đồ thị của nó sẽ tăng nhanh khi tăng và đi qua điểm (0,1).
So sánh với hình vẽ, ta thấy rằng đồ thị tăng nhanh khi tăng và đi qua điểm (0,1). Điều này phù hợp với đặc điểm của hàm số mũ hoặc . Tuy nhiên, vì nhỏ hơn 3, nên đồ thị của sẽ tăng chậm hơn so với .
Do đó, đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số .
Đáp án đúng là: D. .
Câu 4)
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Phương trình này không chứa các ràng buộc đặc biệt về biến số, nên ĐKXĐ tự nhiên là .
Bước 2: Áp dụng tính chất của lôgarit để giải phương trình
- Ta có phương trình . Để giải phương trình này, ta áp dụng tính chất của lôgarit:
Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của
- Ta có:
Bước 4: Kiểm tra lại đáp án
- Đáp án đúng là .
Do đó, đáp án đúng là:
C.
Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án đúng là:
C.
Nhưng theo phương pháp giải trên, đáp án đúng là:
C.
Vậy đáp án cuối cùng là:
C.
Câu 5.
Để giải bất phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với bất phương trình , ta cần đảm bảo rằng . Do đó:
2. Giải bất phương trình:
- Ta có . Để giải bất phương trình này, ta sử dụng tính chất của lôgarit:
- Ta biết rằng . Do đó:
- Giải bất phương trình này:
3. Tìm giao của điều kiện xác định và kết quả giải bất phương trình:
- Từ điều kiện xác định và kết quả giải bất phương trình , ta có:
Vậy nghiệm của bất phương trình là:
Đáp án đúng là: B. .
Câu 6:
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Bước 2: Chuyển phương trình về dạng cơ bản:
Điều này có nghĩa là:
Bước 3: Giải phương trình:
Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định:
Vậy điều kiện xác định được thỏa mãn.
Kết luận: Phương trình có nghiệm là .
Đáp án đúng là: A.
Câu 7:
Biến cố "A hoặc B xảy ra" được gọi là biến cố hợp của A và B. Kí hiệu của biến cố hợp là .
Do đó, đáp án đúng là:
B. .
Câu 8:
Để tìm biến cố , ta cần tìm các phần tử chung giữa tập hợp và tập hợp .
- Tập hợp
- Tập hợp
Ta thấy rằng các phần tử chung giữa và là:
- Long
- Phúc
- Tuấn
Do đó, .
Vậy biến cố là:
B. \{Long, Phúc, Tuấn\}.
Câu 9:
Để tính xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi, ta cần sử dụng công thức xác suất của sự kiện đồng thời.
Xác suất để An đạt điểm giỏi là .
Xác suất để Bình đạt điểm giỏi là .
Vì An và Bình không quen biết nhau và học ở hai nơi khác nhau, nên hai sự kiện này là độc lập. Do đó, xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi là:
Thay các giá trị vào công thức:
Tính toán:
Vậy xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi là 0,8096.
Đáp án đúng là: A. 0,8096