Giải giúp mik vs ạ Câu 23. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x+4}{\sqrt x-1}$ và $B=\frac{3\sqrt x+1}{x+2\sqrt x-3}-\frac2{\sqrt x+3}$ với $x\geq0,~x
e1.$,1) Tính giá trị của biểu thức A tại $x=9.$ 2) Rút gọn biểu thức B.,3) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\frac AB=\frac x4+5.$

Question

Accepted Answer

Câu 23.
Điều kiện xác định: $ x \geq 0, x \neq 1 $.

1) Tính giá trị của biểu thức $ A $ tại $ x = 9 $:

Thay $ x = 9 $ vào biểu thức $ A $:
$$ A = \frac{\sqrt{9} + 4}{\sqrt{9} - 1} = \frac{3 + 4}{3 - 1} = \frac{7}{2} $$

2) Rút gọn biểu thức $ B $:

Biểu thức $ B $ là:
$$ B = \frac{3\sqrt{x} + 1}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3} $$

Ta thấy rằng $ x + 2\sqrt{x} - 3 $ có thể được phân tích thành:
$$ x + 2\sqrt{x} - 3 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1) $$

Do đó:
$$ B = \frac{3\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{2}{\sqrt{x} + 3} $$

Quy đồng mẫu số:
$$ B = \frac{3\sqrt{x} + 1 - 2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{3\sqrt{x} + 1 - 2\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)} $$

Rút gọn:
$$ B = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} $$

3) Tìm tất cả các giá trị của $ x $ để $ \frac{A}{B} = \frac{x}{4} + 5 $:

Thay $ A $ và $ B $ vào phương trình:
$$ \frac{\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1}}{\frac{1}{\sqrt{x} - 1}} = \frac{x}{4} + 5 $$

Phương trình này trở thành:
$$ \sqrt{x} + 4 = \frac{x}{4} + 5 $$

Nhân cả hai vế với 4:
$$ 4\sqrt{x} + 16 = x + 20 $$

Di chuyển các hạng tử về một vế:
$$ 4\sqrt{x} - x = 4 $$

Đặt $ t = \sqrt{x} $, ta có:
$$ 4t - t^2 = 4 $$
$$ t^2 - 4t + 4 = 0 $$
$$ (t - 2)^2 = 0 $$
$$ t = 2 $$

Vậy:
$$ \sqrt{x} = 2 $$
$$ x = 4 $$

Kiểm tra điều kiện $ x \geq 0 $ và $ x \neq 1 $, ta thấy $ x = 4 $ thỏa mãn.

Đáp số: $ x = 4 $.