Giải giúp mik vs ạ 24. Cho phương trình $3x^2-12x-5=0$ có hai nghiệm là $x_1,x_2.$ Không giải phương trình, hãy tính giá trị của,biểu thức: $T=\frac{x^2_1+4x_2-x_1x_2}{4x_1+x^2_2+x_1x_2}$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Vi-et để tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương trình đã cho là:
$$ 3x^2 - 12x - 5 = 0 $$

Theo định lý Vi-et, ta có:
$$ x_1 + x_2 = \frac{-(-12)}{3} = 4 $$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{-5}{3} $$

Bây giờ, ta cần tính giá trị của biểu thức:
$$ T = \frac{x_1^2 + 4x_2 - x_1x_2}{4x_1 + x_2^2 + x_1x_2} $$

Ta sẽ biến đổi biểu thức $ T $ theo các giá trị đã biết:
$$ T = \frac{x_1^2 + 4x_2 - x_1x_2}{4x_1 + x_2^2 + x_1x_2} $$

Nhận thấy rằng $ x_1 + x_2 = 4 $, ta có thể thay $ x_2 = 4 - x_1 $ vào biểu thức:
$$ T = \frac{x_1^2 + 4(4 - x_1) - x_1(4 - x_1)}{4x_1 + (4 - x_1)^2 + x_1(4 - x_1)} $$

Biến đổi tiếp:
$$ T = \frac{x_1^2 + 16 - 4x_1 - 4x_1 + x_1^2}{4x_1 + 16 - 8x_1 + x_1^2 + 4x_1 - x_1^2} $$
$$ T = \frac{2x_1^2 - 8x_1 + 16}{16} $$
$$ T = \frac{2(x_1^2 - 4x_1 + 8)}{16} $$
$$ T = \frac{x_1^2 - 4x_1 + 8}{8} $$

Do $ x_1 + x_2 = 4 $, ta có thể viết lại $ x_1^2 - 4x_1 + 8 $ dưới dạng:
$$ x_1^2 - 4x_1 + 8 = (x_1 - 2)^2 + 4 $$

Vậy:
$$ T = \frac{(x_1 - 2)^2 + 4}{8} $$

Vì $ (x_1 - 2)^2 \geq 0 $, ta có:
$$ T = \frac{(x_1 - 2)^2 + 4}{8} \geq \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$

Vậy giá trị của biểu thức $ T $ là:
$$ T = \frac{1}{2} $$

Đáp số: $ T = \frac{1}{2} $