Cho a,b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ab$
eq$1.Rút gọn biểu thức

P=$(\log_{a}b+$\log_{b}a+2)$(log_{a}b-$\log_{ab}b)$\log_{b}a-1$ ta được

P=$\log_{a}(b^{n}$.hãy tìm n

Question

Cho a,b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ab$
eq$1.Rút gọn biểu thức

P=$(\log_{a}b+$\log_{b}a+2)$(log_{a}b-$\log_{ab}b)$\log_{b}a-1$ ta được

P=$\log_{a}(b^{n}$.hãy tìm n

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức $ P $.

Biểu thức ban đầu:
$$ P = (\log_{a}b + \log_{b}a + 2)(\log_{a}b - \log_{ab}b) $$

Chúng ta biết rằng:
$$ \log_{b}a = \frac{1}{\log_{a}b} $$

Gọi $ x = \log_{a}b $. Do đó:
$$ \log_{b}a = \frac{1}{x} $$

Thay vào biểu thức:
$$ P = (x + \frac{1}{x} + 2)(x - \log_{ab}b) $$

Bước 2: Tính $ \log_{ab}b $.

Ta có:
$$ \log_{ab}b = \frac{\log_{a}b}{\log_{a}(ab)} = \frac{x}{\log_{a}a + \log_{a}b} = \frac{x}{1 + x} $$

Bước 3: Thay $ \log_{ab}b $ vào biểu thức.

$$ P = (x + \frac{1}{x} + 2)\left(x - \frac{x}{1 + x}\right) $$

Bước 4: Rút gọn biểu thức trong ngoặc đơn.

$$ x - \frac{x}{1 + x} = \frac{x(1 + x) - x}{1 + x} = \frac{x + x^2 - x}{1 + x} = \frac{x^2}{1 + x} $$

Bước 5: Thay vào biểu thức ban đầu.

$$ P = (x + \frac{1}{x} + 2) \cdot \frac{x^2}{1 + x} $$

Bước 6: Nhân các biểu thức.

$$ P = \frac{(x + \frac{1}{x} + 2)x^2}{1 + x} $$
$$ P = \frac{x^3 + x + 2x^2}{1 + x} $$

Bước 7: Rút gọn phân số.

$$ P = \frac{x^3 + 2x^2 + x}{1 + x} $$

Chúng ta thấy rằng:
$$ x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1) = x(x + 1)^2 $$

Do đó:
$$ P = \frac{x(x + 1)^2}{1 + x} = x(x + 1) = x^2 + x $$

Bước 8: Kết luận.

$$ P = x^2 + x $$

Vì $ x = \log_{a}b $, nên:
$$ P = (\log_{a}b)^2 + \log_{a}b $$

Như vậy, biểu thức $ P $ đã được rút gọn thành:
$$ P = \log_{a}(b^2) + \log_{a}b $$

Từ đây, ta thấy rằng $ n = 2 $.

Đáp số: $ n = 2 $.

Cho a,b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ab1.Rút gọn biểu thức P=\log_{b}a+2)\log_{ab}b) ta được P=.hãy tìm n