Giúp mik vs Câu 26. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}+\frac1{\sqrt x+2}-\frac{3\sqrt x}{x+\sqrt x-2}$ và $B=\frac{\sqrt x+3}{\sqrt x+1}$ với $x\geq0;x
e1.$,1) Tính giá trị của biểu thức B với $x=25.$ 2) Chứng minh $A=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x+2}.$,3) Tìm x để biểu thức $S=AB$ đạt giá trị lớn nhất.

Question

Accepted Answer

Câu 26.
1) Thay $x=25$ vào biểu thức $B$, ta được:
$$ B = \frac{\sqrt{25} + 3}{\sqrt{25} + 1} = \frac{5 + 3}{5 + 1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$

2) Ta sẽ chứng minh rằng $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$.
Ta có:
$$ A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{3\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} - 2} $$
Đầu tiên, ta quy đồng các phân thức:
$$ A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{1(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} - 1) - 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ A = \frac{x + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1 - 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ A = \frac{x - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ A = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} $$

3) Ta cần tìm giá trị của $x$ để biểu thức $S = AB$ đạt giá trị lớn nhất.
$$ S = AB = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} \right) \left( \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} \right) = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} $$
Để tìm giá trị lớn nhất của $S$, ta xét:
$$ S = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} $$
Biểu thức $\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sqrt{x} + 2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Do đó, $\sqrt{x} + 2$ nhỏ nhất khi $\sqrt{x} = 0$, tức là $x = 0$.
Vậy giá trị lớn nhất của $S$ đạt được khi $x = 0$.