trả lời câu hỏi Trong các câu từ câu 1 đen cau 30, ch.......,A. Nguyên Iaaaa,Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?,$A.~\int x^{\frac43}dx=\frac37x^{\frac73}+C.$ $B.~\int x^{\frac43}dx=\frac73x^{\frac73}+C.$,$C.~\int x^{\frac43}dx=3x^{\frac13}+C.$ $D.~\int x^{\frac43}dx=\frac13x^{\frac13}+C.$,Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng?,$A.~\int3^{2x}dx=\frac{3^{2x}}{\ln3}\div C.$ $B.~\int3^{2x}dx=\frac{9^x}{\ln9}+C.$,$C.~\int3^{2x}dx=3^{2x}.\ln3+C.$ $D.~\int3^{2x}dx=9^x.\ln9+C.$,Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=x-\sin x$ là,$A.~\frac{x^2}2-\cos x+C.$ $B.~\frac{x^2}2+\cos x+C.$,$C.~x^2-\cos x+C.$ $D.~x^2+\cos x+C.$,Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2\sqrt x-1}x$ trên khoảng $(0;+\infty)$ là,$A.~2\sqrt x+\ln x+C.$ $B.~2\sqrt x-\ln x+C.$,$C.~4\sqrt x+\ln x+C.$ $D.~4\sqrt x-\ln x+C.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của $ x^{\frac{4}{3}} $.

Bước 1: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

Trong đó, $ n = \frac{4}{3} $.

Bước 2: Thay $ n = \frac{4}{3} $ vào công thức:
$$ \int x^{\frac{4}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{4}{3} + 1}}{\frac{4}{3} + 1} + C $$

Bước 3: Tính toán phần mẫu số:
$$ \frac{4}{3} + 1 = \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} $$

Bước 4: Thay kết quả vào công thức:
$$ \int x^{\frac{4}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} + C $$

Bước 5: Rút gọn phân số:
$$ \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} $$

Vậy, nguyên hàm của $ x^{\frac{4}{3}} $ là:
$$ \int x^{\frac{4}{3}} \, dx = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C $$

Do đó, khẳng định đúng là:
A. $ \int x^{\frac{4}{3}} \, dx = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C $

Đáp án: A. $ \int x^{\frac{4}{3}} \, dx = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C $

Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của hàm số $3^{2x}$.

Bước 1: Xác định dạng của hàm số.
Hàm số $3^{2x}$ có dạng $a^{bx}$, trong đó $a = 3$ và $b = 2$.

Bước 2: Áp dụng công thức tích phân cho hàm số $a^{bx}$.
Công thức tích phân của $a^{bx}$ là:
$$ \int a^{bx} \, dx = \frac{a^{bx}}{b \ln a} + C $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ \int 3^{2x} \, dx = \frac{3^{2x}}{2 \ln 3} + C $$

Bước 3: So sánh với các lựa chọn đã cho.
- A. $\int 3^{2x} \, dx = \frac{3^{2x}}{\ln 3} + C$ (sai vì thiếu nhân với $2$ ở mẫu)
- B. $\int 3^{2x} \, dx = \frac{9^x}{\ln 9} + C$ (đúng vì $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ và $\ln 9 = 2 \ln 3$)
- C. $\int 3^{2x} \, dx = 3^{2x} \cdot \ln 3 + C$ (sai vì không đúng công thức tích phân)
- D. $\int 3^{2x} \, dx = 9^x \cdot \ln 9 + C$ (sai vì không đúng công thức tích phân)

Vậy khẳng định đúng là:
B. $\int 3^{2x} \, dx = \frac{9^x}{\ln 9} + C$.

Câu 3.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x - \sin x $, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số.

- Nguyên hàm của $ x $ là $ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 $.
- Nguyên hàm của $ -\sin x $ là $ \int -\sin x \, dx = \cos x + C_2 $.

Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau.

$$ \int (x - \sin x) \, dx = \int x \, dx + \int (-\sin x) \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 + \cos x + C_2 $$

Bước 3: Gộp các hằng số $ C_1 $ và $ C_2 $ thành một hằng số tổng quát $ C $.

$$ \int (x - \sin x) \, dx = \frac{x^2}{2} + \cos x + C $$

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x - \sin x $ là $ \frac{x^2}{2} + \cos x + C $.

Do đó, đáp án đúng là:
A. $ \frac{x^2}{2} - \cos x + C $

Đáp án: A. $ \frac{x^2}{2} - \cos x + C $

Câu 4.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2\sqrt x-1}x$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tách phân thức thành tổng của hai phân thức:
$$ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x}. $$

Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phân thức riêng lẻ.

- Nguyên hàm của $\frac{2}{\sqrt{x}}$:
$$ \int \frac{2}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = 4\sqrt{x} + C_1. $$

- Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:
$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_2. $$

Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại:
$$ \int f(x) \, dx = 4\sqrt{x} - \ln |x| + C. $$

Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2\sqrt x-1}x$ trên khoảng $(0;+\infty)$ là:
$$ 4\sqrt{x} - \ln x + C. $$

Do đó, đáp án đúng là:
D. $4\sqrt{x} - \ln x + C$.