giải các câu hỏi Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=( an x+\cot x)^2$ là,$A.~2x+ an x-\cot x+C.$ $B.~2x+ an x+\cot x+C.$,$C.~ an x-\cot x+C.$ $D.~ an x+\cot x+C.$,Câu 6. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x-1)^2?$,$A.~F(x)=x^3-x^2+x+C.$ $B.~F(x)=x^3+x^2+x+C.$,$C.~F(x)=\frac{x^3}3-x^2+x+C.$ $D.~F(x)=\frac{x^3}3+x^2+x+C.$,Câu 7. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f^\prime(x)=2x-3e^x,~\forall x\in\mathbb R$ và $f(0)=5.$ Khẳng định nào sau,đây đúng?,$A.~f(x)=2x+3e^x+2.$ $B.~f(x)=x^2+3e^x+2.$,$C.~f(x)=2x-3e^x+8.$ $D.~f(x)=x^2-3e^x+8.$,Câu 8. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x\sqrt x~trên~(0;+\infty)$ và $F(1)=5.$,Giá trị của $F(4)$ bằng,A. 70. B. 35. C. 67. D. 69.,Câu 9. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4^x$ và $F(1)=\frac1{\ln2}.$ Giá trị,của $F(\frac32).\ln2$ bằng,A. 3. B. 7. C. 5. D. 9.,Câu 10. Giả sử một chất điểm chuyển động với gia tốc tại thời điểm t (giây) được xác định,bởi công thức $a(t)=2t-1(m/s^2).$ Biết rằng vận tốc của chất điểm tại thời điểm ban đầu là,$v_0=2(m/s).$ Vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t (giây) là,$A.~v(t)=2t^2-t+2(m/s).$ $B.~v(t)=t^2-t+2~(m/s).$,$C.~v(t)=2t^2-t~(m/s).$ $D.~v(t)=t^2-t~(m/s).$,B. Tích phân,Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)$ liên tục trên $\mathbb{\mathbb R}$ và $f(2)=3,f(5)=2.$ Giá trị cáa,$\int^5_2f^\prime(x)dx$ bằng,A. -1. B. 1. C. 5. D. 6.,Câu 12. Nếu hàm số $f(x)$ thoả mãn $\int^3_1f(x)dx=6$ và $\int^5_1f(x)dx=20$ thì giá trị của $\int^5_3f(x)dx$,bằng,A. -14. B. 26. C. 14. D. 28.,Câu 13. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Nếu $\int^4_{-1}f(x)dx=2$ thì giá trị của $\int^4_{-1}[4-3f(x)]$,bằng,A. -2. B. 14. C. 5. D. -4.,16

Question

giải các câu hỏi Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=(	an x+\cot x)^2$ là,$A.~2x+	an x-\cot x+C.$ $B.~2x+	an x+\cot x+C.$,$C.~	an x-\cot x+C.$ $D.~	an x+\cot x+C.$,Câu 6. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x-1)^2?$,$A.~F(x)=x^3-x^2+x+C.$ $B.~F(x)=x^3+x^2+x+C.$,$C.~F(x)=\frac{x^3}3-x^2+x+C.$ $D.~F(x)=\frac{x^3}3+x^2+x+C.$,Câu 7. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f^\prime(x)=2x-3e^x,~\forall x\in\mathbb R$ và $f(0)=5.$ Khẳng định nào sau,đây đúng?,$A.~f(x)=2x+3e^x+2.$ $B.~f(x)=x^2+3e^x+2.$,$C.~f(x)=2x-3e^x+8.$ $D.~f(x)=x^2-3e^x+8.$,Câu 8. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x\sqrt x~trên~(0;+\infty)$ và $F(1)=5.$,Giá trị của $F(4)$ bằng,A. 70. B. 35. C. 67. D. 69.,Câu 9. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4^x$ và $F(1)=\frac1{\ln2}.$ Giá trị,của $F(\frac32).\ln2$ bằng,A. 3. B. 7. C. 5. D. 9.,Câu 10. Giả sử một chất điểm chuyển động với gia tốc tại thời điểm t (giây) được xác định,bởi công thức $a(t)=2t-1(m/s^2).$ Biết rằng vận tốc của chất điểm tại thời điểm ban đầu là,$v_0=2(m/s).$ Vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t (giây) là,$A.~v(t)=2t^2-t+2(m/s).$ $B.~v(t)=t^2-t+2~(m/s).$,$C.~v(t)=2t^2-t~(m/s).$ $D.~v(t)=t^2-t~(m/s).$,B. Tích phân,Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)$ liên tục trên $\mathbb{\mathbb R}$ và $f(2)=3,f(5)=2.$ Giá trị cáa,$\int^5_2f^\prime(x)dx$ bằng,A. -1. B. 1. C. 5. D. 6.,Câu 12. Nếu hàm số $f(x)$ thoả mãn $\int^3_1f(x)dx=6$ và $\int^5_1f(x)dx=20$ thì giá trị của $\int^5_3f(x)dx$,bằng,A. -14. B. 26. C. 14. D. 28.,Câu 13. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Nếu $\int^4_{-1}f(x)dx=2$ thì giá trị của $\int^4_{-1}[4-3f(x)]$,bằng,A. -2. B. 14. C. 5. D. -4.,16

Accepted Answer

Câu 5.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (\tan x + \cot x)^2 $, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Mở rộng bình phương:
$$ f(x) = (\tan x + \cot x)^2 = \tan^2 x + 2 \tan x \cot x + \cot^2 x $$

Bước 2: Biến đổi các thành phần:
$$ \tan^2 x + 2 \tan x \cot x + \cot^2 x = \tan^2 x + 2 + \cot^2 x $$
(Do $\tan x \cot x = 1$)

Bước 3: Áp dụng công thức lượng giác:
$$ \tan^2 x + \cot^2 x = \sec^2 x - 1 + \csc^2 x - 1 = \sec^2 x + \csc^2 x - 2 $$

Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu:
$$ f(x) = \sec^2 x + \csc^2 x - 2 + 2 = \sec^2 x + \csc^2 x $$

Bước 5: Tìm nguyên hàm từng thành phần:
$$ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_1 $$
$$ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C_2 $$

Bước 6: Kết hợp các kết quả:
$$ \int f(x) \, dx = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) \, dx = \tan x - \cot x + C $$

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (\tan x + \cot x)^2 $ là:
$$ \boxed{\tan x - \cot x + C} $$

Đáp án đúng là: C. $\tan x - \cot x + C$

Câu 6.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (x-1)^2 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Mở rộng biểu thức $ (x-1)^2 $:
$$ (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 $$

Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử trong biểu thức $ x^2 - 2x + 1 $:
$$ \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 1 \, dx $$

Bước 3: Tính nguyên hàm từng hạng tử:
$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} $$
$$ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 $$
$$ \int 1 \, dx = x $$

Bước 4: Kết hợp các kết quả trên và thêm hằng số $ C $:
$$ \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $$

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (x-1)^2 $ là:
$$ F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
C. $ F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $

Đáp số: C. $ F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $

Câu 7.
Để tìm hàm số $ f(x) $ thỏa mãn $ f'(x) = 2x - 3e^x $ và $ f(0) = 5 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của $ f'(x) $:
   Ta có $ f'(x) = 2x - 3e^x $. Để tìm $ f(x) $, ta cần tính nguyên hàm của $ f'(x) $.

$$
   f(x) = \int (2x - 3e^x) \, dx
   $$

Ta tính từng phần nguyên hàm này:
   $$
   \int 2x \, dx = x^2 + C_1
   $$
   $$
   \int -3e^x \, dx = -3e^x + C_2
   $$

Kết hợp lại, ta có:
   $$
   f(x) = x^2 - 3e^x + C
   $$
   trong đó $ C = C_1 + C_2 $ là hằng số tích phân.

2. Xác định hằng số $ C $:
   Ta biết rằng $ f(0) = 5 $. Thay $ x = 0 $ vào biểu thức của $ f(x) $:
   $$
   f(0) = 0^2 - 3e^0 + C = 5
   $$
   $$
   0 - 3 \cdot 1 + C = 5
   $$
   $$
   -3 + C = 5
   $$
   $$
   C = 8
   $$

3. Viết phương trình của $ f(x) $:
   Thay $ C = 8 $ vào biểu thức của $ f(x) $:
   $$
   f(x) = x^2 - 3e^x + 8
   $$

Vậy khẳng định đúng là:
D. $ f(x) = x^2 - 3e^x + 8 $

Đáp án: D. $ f(x) = x^2 - 3e^x + 8 $

Câu 8.
Để tìm giá trị của $ F(4) $, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 5x\sqrt{x} $.

Ta có:
$$ f(x) = 5x\sqrt{x} = 5x^{1 + \frac{1}{2}} = 5x^{\frac{3}{2}} $$

Tính nguyên hàm của $ f(x) $:
$$ F(x) = \int 5x^{\frac{3}{2}} \, dx $$
$$ F(x) = 5 \int x^{\frac{3}{2}} \, dx $$
$$ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C $$
$$ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C $$
$$ F(x) = 5 \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C $$
$$ F(x) = 2x^{\frac{5}{2}} + C $$

2. Xác định hằng số $ C $ bằng cách sử dụng điều kiện $ F(1) = 5 $.

Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $:
$$ F(1) = 2 \cdot 1^{\frac{5}{2}} + C = 5 $$
$$ 2 + C = 5 $$
$$ C = 3 $$

Do đó, nguyên hàm của $ f(x) $ là:
$$ F(x) = 2x^{\frac{5}{2}} + 3 $$

3. Tính giá trị của $ F(4) $.

Thay $ x = 4 $ vào $ F(x) $:
$$ F(4) = 2 \cdot 4^{\frac{5}{2}} + 3 $$
$$ F(4) = 2 \cdot (2^2)^{\frac{5}{2}} + 3 $$
$$ F(4) = 2 \cdot 2^5 + 3 $$
$$ F(4) = 2 \cdot 32 + 3 $$
$$ F(4) = 64 + 3 $$
$$ F(4) = 67 $$

Vậy giá trị của $ F(4) $ là 67.

Đáp án đúng là: C. 67.

Câu 9.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 4^x $.
2. Xác định hằng số trong nguyên hàm dựa trên điều kiện $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $.
3. Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) $.
4. Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) = 4^x $.

Ta biết rằng:
$$ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} $$

Nguyên hàm của $ 2^{2x} $ là:
$$ \int 2^{2x} \, dx = \frac{2^{2x}}{2 \ln 2} + C = \frac{4^x}{2 \ln 2} + C $$

Do đó, nguyên hàm của $ f(x) = 4^x $ là:
$$ F(x) = \frac{4^x}{2 \ln 2} + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ dựa trên điều kiện $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $.

Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $:
$$ F(1) = \frac{4^1}{2 \ln 2} + C = \frac{4}{2 \ln 2} + C = \frac{2}{\ln 2} + C $$

Theo điều kiện $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $:
$$ \frac{2}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} $$
$$ C = \frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = -\frac{1}{\ln 2} $$

Vậy, nguyên hàm của $ f(x) = 4^x $ là:
$$ F(x) = \frac{4^x}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} $$

Bước 3: Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) $.

Thay $ x = \frac{3}{2} $ vào $ F(x) $:
$$ F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4^{\frac{3}{2}}}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} $$

Ta biết rằng:
$$ 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8 $$

Do đó:
$$ F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{8}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} $$

Bước 4: Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $.

$$ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 = \left( \frac{3}{\ln 2} \right) \cdot \ln 2 = 3 $$

Vậy giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $ là 3.

Đáp án đúng là: A. 3.

Câu 10.
Để tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, ta cần tích phân gia tốc theo thời gian. Gia tốc $a(t)$ được cho là $a(t) = 2t - 1$.

Bước 1: Tích phân gia tốc để tìm vận tốc:
$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (2t - 1) \, dt $$

Bước 2: Thực hiện tích phân:
$$ v(t) = \int 2t \, dt - \int 1 \, dt $$
$$ v(t) = 2 \int t \, dt - \int 1 \, dt $$
$$ v(t) = 2 \left( \frac{t^2}{2} \right) - t + C $$
$$ v(t) = t^2 - t + C $$

Bước 3: Xác định hằng số tích phân $C$ bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu $v(0) = 2$:
$$ v(0) = 0^2 - 0 + C = 2 $$
$$ C = 2 $$

Bước 4: Thay $C$ vào biểu thức vận tốc:
$$ v(t) = t^2 - t + 2 $$

Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là:
$$ v(t) = t^2 - t + 2 \, (m/s) $$

Đáp án đúng là: B. $v(t) = t^2 - t + 2 \, (m/s)$.

Câu 11.
Để tính giá trị của $\int^5_2 f^\prime(x) dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó:

$$
\int^b_a f^\prime(x) dx = f(b) - f(a)
$$

Trong bài toán này, ta có:

$$
\int^5_2 f^\prime(x) dx = f(5) - f(2)
$$

Biết rằng $f(2) = 3$ và $f(5) = 2$, ta thay vào công thức trên:

$$
\int^5_2 f^\prime(x) dx = 2 - 3 = -1
$$

Vậy giá trị của $\int^5_2 f^\prime(x) dx$ là $-1$.

Đáp án đúng là: A. -1.

Câu 12.
Để tính giá trị của $\int^5_3 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân:

$$
\int^5_1 f(x) dx = \int^3_1 f(x) dx + \int^5_3 f(x) dx
$$

Biết rằng:

$$
\int^3_1 f(x) dx = 6
$$
$$
\int^5_1 f(x) dx = 20
$$

Thay vào công thức trên, ta có:

$$
20 = 6 + \int^5_3 f(x) dx
$$

Giải phương trình này để tìm $\int^5_3 f(x) dx$:

$$
\int^5_3 f(x) dx = 20 - 6 = 14
$$

Vậy giá trị của $\int^5_3 f(x) dx$ là 14.

Đáp án đúng là: C. 14.

Câu 13.
Để tính giá trị của $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và các dữ liệu đã cho.

Bước 1: Ta biết rằng $\int^4_{-1}f(x)dx = 2$.

Bước 2: Ta cần tính $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$. Ta sẽ tách tích phân này thành hai phần:
$$
\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx = \int^4_{-1}4dx - \int^4_{-1}3f(x)dx
$$

Bước 3: Tính từng phần riêng lẻ:
- Tích phân $\int^4_{-1}4dx$ là tích của hằng số 4 và khoảng dài từ -1 đến 4:
$$
\int^4_{-1}4dx = 4 \times (4 - (-1)) = 4 \times 5 = 20
$$
- Tích phân $\int^4_{-1}3f(x)dx$ là 3 lần tích phân của $f(x)$ từ -1 đến 4:
$$
\int^4_{-1}3f(x)dx = 3 \times \int^4_{-1}f(x)dx = 3 \times 2 = 6
$$

Bước 4: Kết hợp lại:
$$
\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx = 20 - 6 = 14
$$

Vậy giá trị của $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$ là 14.

Đáp án đúng là: B. 14.