Helppppppp me TIẾT 1 :NGUYÊN HÀM,PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương ẩm lựa chọn. mor cau nơi thì sinn chỉ chọn một phương án.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=3x^2+2x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên (] ?,$ extcircled{A.}~F_1(x)=x^3+x^2-4.$ $B.~F_2(x)=\frac{x^3}3+\frac{x^2}2.$ $C.~F_3(x)=x^3-x^2+1.$ $D.~F_4(x)=3x^3+x^2.$,Câu 2: Cho hàm số $f(x)=x-\frac1{\sqrt x}.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0;+\infty)$,?,$A.~F_1(x)=\frac{x^2}2+\sqrt x.$ $B.~F_2(x)=\frac{x^2}2-\sqrt x.$,$C.~F_3(x)=\frac{x^2}2+2\sqrt x.$ $D.~F_4(x)=\frac{x^2}2-2\sqrt x.$,Câu 3: Cho hàm số $f(x)=3+\frac1x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0;+\infty)$,?,$A.~F_1(x)=3x-\frac1{x^2}.$ $B.~F_2(x)=3x+\ln x.$ $C.~F_3(x)=3x+\frac1{x^2}.$ $D.~F_4(x)=3x-\ln x.$,Câu 4: Cho hàm số $f(x)=3x^2+2x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên [] 1,$A.~F_1(x)=x^3+x^2-4.$ $B.~F_2(x)=\frac{x^3}3+\frac{x^2}2.$ $C.~F_3(x)=x^3-x^2+1.$ $D.~F_4(x)=3x^3+x^2.$,Câu 5: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x^4-8x^3-6x$ là,$A~F(x)=x^5-2x^4-3x^2+C.$ $B.~F(x)=x^5-x^4-x^2+C.$,$C.~F(x)=x^5-4x^4-2x^2+C.$ $D.~F(x)=x^5+2x^4-3x^2+C.$,Câu 6: Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac13x^3-2x^2+x-2024$ thỏa mãn $F(1)=-2024$ là,$A.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x+\frac5{12}.$ $B.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x-\frac1{12}.$,$C.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x+\frac1{12}.$ $D.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x-\frac5{12}.$,Câu 7: Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=(2x-3)^2$ thỏa mãn $F(-1)=-17$ là,$A.~\frac{(2x-3)^3}3+\frac43.$ $B\frac43x^3-6x^2+9x-\frac23.$,$C.~\frac43x^3-6x^2+9x+\frac83.$ $D.~\frac43x^3-6x^2+9x+\frac23.$,Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+\frac2{x^2}.$,$A.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac1x+C.$ $B.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac2x+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac1x+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac2x+C.$,Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số $\int(x^2+\frac3x-2\sqrt x)dx.$

Question

Helppppppp me TIẾT 1 :NGUYÊN HÀM,PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương ẩm lựa chọn. mor cau nơi thì sinn chỉ chọn một phương án.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=3x^2+2x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên (] ?,$	extcircled{A.}~F_1(x)=x^3+x^2-4.$ $B.~F_2(x)=\frac{x^3}3+\frac{x^2}2.$ $C.~F_3(x)=x^3-x^2+1.$ $D.~F_4(x)=3x^3+x^2.$,Câu 2: Cho hàm số $f(x)=x-\frac1{\sqrt x}.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0;+\infty)$,?,$A.~F_1(x)=\frac{x^2}2+\sqrt x.$ $B.~F_2(x)=\frac{x^2}2-\sqrt x.$,$C.~F_3(x)=\frac{x^2}2+2\sqrt x.$ $D.~F_4(x)=\frac{x^2}2-2\sqrt x.$,Câu 3: Cho hàm số $f(x)=3+\frac1x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0;+\infty)$,?,$A.~F_1(x)=3x-\frac1{x^2}.$ $B.~F_2(x)=3x+\ln x.$ $C.~F_3(x)=3x+\frac1{x^2}.$ $D.~F_4(x)=3x-\ln x.$,Câu 4: Cho hàm số $f(x)=3x^2+2x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên [] 1,$A.~F_1(x)=x^3+x^2-4.$ $B.~F_2(x)=\frac{x^3}3+\frac{x^2}2.$ $C.~F_3(x)=x^3-x^2+1.$ $D.~F_4(x)=3x^3+x^2.$,Câu 5: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x^4-8x^3-6x$ là,$A~F(x)=x^5-2x^4-3x^2+C.$ $B.~F(x)=x^5-x^4-x^2+C.$,$C.~F(x)=x^5-4x^4-2x^2+C.$ $D.~F(x)=x^5+2x^4-3x^2+C.$,Câu 6: Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac13x^3-2x^2+x-2024$ thỏa mãn $F(1)=-2024$ là,$A.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x+\frac5{12}.$ $B.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x-\frac1{12}.$,$C.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x+\frac1{12}.$ $D.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x-\frac5{12}.$,Câu 7: Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=(2x-3)^2$ thỏa mãn $F(-1)=-17$ là,$A.~\frac{(2x-3)^3}3+\frac43.$ $B\frac43x^3-6x^2+9x-\frac23.$,$C.~\frac43x^3-6x^2+9x+\frac83.$ $D.~\frac43x^3-6x^2+9x+\frac23.$,Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+\frac2{x^2}.$,$A.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac1x+C.$ $B.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac2x+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac1x+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac2x+C.$,Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số $\int(x^2+\frac3x-2\sqrt x)dx.$

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3x^2 + 2x $, ta cần kiểm tra từng hàm số đã cho để xem đạo hàm của chúng có bằng $ f(x) $ hay không.

A. $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $

Tính đạo hàm của $ F_1(x) $:
$$ F'_1(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - 4) = 3x^2 + 2x $$

B. $ F_2(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} $

Tính đạo hàm của $ F_2(x) $:
$$ F'_2(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right) = x^2 + x $$

C. $ F_3(x) = x^3 - x^2 + 1 $

Tính đạo hàm của $ F_3(x) $:
$$ F'_3(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 + 1) = 3x^2 - 2x $$

D. $ F_4(x) = 3x^3 + x^2 $

Tính đạo hàm của $ F_4(x) $:
$$ F'_4(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 + x^2) = 9x^2 + 2x $$

So sánh các đạo hàm trên với $ f(x) = 3x^2 + 2x $:

- $ F'_1(x) = 3x^2 + 2x $ đúng bằng $ f(x) $.
- $ F'_2(x) = x^2 + x $ không bằng $ f(x) $.
- $ F'_3(x) = 3x^2 - 2x $ không bằng $ f(x) $.
- $ F'_4(x) = 9x^2 + 2x $ không bằng $ f(x) $.

Vậy, trong các hàm số đã cho, chỉ có $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $ là nguyên hàm của $ f(x) $.

Đáp án: A. $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $.

Câu 2:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x}} $, ta cần kiểm tra từng hàm số đã cho để xem hàm số đó có phải là nguyên hàm của $ f(x) $ hay không. Nguyên hàm của một hàm số $ f(x) $ là một hàm số $ F(x) $ sao cho đạo hàm của $ F(x) $ bằng $ f(x) $.

Ta sẽ tính đạo hàm của mỗi hàm số đã cho và so sánh với $ f(x) $:

A. $ F_1(x) = \frac{x^2}{2} + \sqrt{x} $

Tính đạo hàm:
$$ F'_1(x) = \left( \frac{x^2}{2} + \sqrt{x} \right)' = x + \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

B. $ F_2(x) = \frac{x^2}{2} - \sqrt{x} $

Tính đạo hàm:
$$ F'_2(x) = \left( \frac{x^2}{2} - \sqrt{x} \right)' = x - \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

C. $ F_3(x) = \frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} $

Tính đạo hàm:
$$ F'_3(x) = \left( \frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} \right)' = x + \frac{2}{2\sqrt{x}} = x + \frac{1}{\sqrt{x}} $$

D. $ F_4(x) = \frac{x^2}{2} - 2\sqrt{x} $

Tính đạo hàm:
$$ F'_4(x) = \left( \frac{x^2}{2} - 2\sqrt{x} \right)' = x - \frac{2}{2\sqrt{x}} = x - \frac{1}{\sqrt{x}} $$

So sánh các đạo hàm với $ f(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x}} $:

- $ F'_1(x) = x + \frac{1}{2\sqrt{x}} \neq f(x) $
- $ F'_2(x) = x - \frac{1}{2\sqrt{x}} \neq f(x) $
- $ F'_3(x) = x + \frac{1}{\sqrt{x}} \neq f(x) $
- $ F'_4(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x}} = f(x) $

Như vậy, hàm số $ F_4(x) = \frac{x^2}{2} - 2\sqrt{x} $ là nguyên hàm của $ f(x) $ trên khoảng $ (0; +\infty) $.

Đáp án đúng là: D. $ F_4(x) = \frac{x^2}{2} - 2\sqrt{x} $.

Câu 3:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3 + \frac{1}{x} $ trên khoảng $ (0; +\infty) $, ta cần kiểm tra từng hàm số đã cho để xem hàm số nào có đạo hàm bằng $ f(x) $.

A. $ F_1(x) = 3x - \frac{1}{x^2} $

Tính đạo hàm của $ F_1(x) $:
$$ F'_1(x) = \frac{d}{dx}\left(3x - \frac{1}{x^2}\right) = 3 + \frac{2}{x^3} $$

B. $ F_2(x) = 3x + \ln x $

Tính đạo hàm của $ F_2(x) $:
$$ F'_2(x) = \frac{d}{dx}\left(3x + \ln x\right) = 3 + \frac{1}{x} $$

C. $ F_3(x) = 3x + \frac{1}{x^2} $

Tính đạo hàm của $ F_3(x) $:
$$ F'_3(x) = \frac{d}{dx}\left(3x + \frac{1}{x^2}\right) = 3 - \frac{2}{x^3} $$

D. $ F_4(x) = 3x - \ln x $

Tính đạo hàm của $ F_4(x) $:
$$ F'_4(x) = \frac{d}{dx}\left(3x - \ln x\right) = 3 - \frac{1}{x} $$

So sánh các đạo hàm trên với $ f(x) = 3 + \frac{1}{x} $:

- $ F'_1(x) = 3 + \frac{2}{x^3} \neq f(x) $
- $ F'_2(x) = 3 + \frac{1}{x} = f(x) $
- $ F'_3(x) = 3 - \frac{2}{x^3} \neq f(x) $
- $ F'_4(x) = 3 - \frac{1}{x} \neq f(x) $

Như vậy, chỉ có $ F_2(x) = 3x + \ln x $ là nguyên hàm của $ f(x) $ trên khoảng $ (0; +\infty) $.

Đáp án đúng là: B. $ F_2(x) = 3x + \ln x $.

Câu 4:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3x^2 + 2x $, ta cần kiểm tra từng hàm số đã cho để xem đạo hàm của chúng có bằng $ f(x) $ hay không.

A. $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $

Tính đạo hàm của $ F_1(x) $:
$$ F'_1(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - 4) = 3x^2 + 2x $$

B. $ F_2(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} $

Tính đạo hàm của $ F_2(x) $:
$$ F'_2(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right) = x^2 + x $$

C. $ F_3(x) = x^3 - x^2 + 1 $

Tính đạo hàm của $ F_3(x) $:
$$ F'_3(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 + 1) = 3x^2 - 2x $$

D. $ F_4(x) = 3x^3 + x^2 $

Tính đạo hàm của $ F_4(x) $:
$$ F'_4(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 + x^2) = 9x^2 + 2x $$

So sánh các đạo hàm trên với $ f(x) = 3x^2 + 2x $, ta thấy rằng chỉ có $ F'_1(x) = 3x^2 + 2x $.

Vậy, hàm số $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $ là một nguyên hàm của $ f(x) $ trên.

Đáp án đúng là: A. $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $

Câu 5:
Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 5x^4 - 8x^3 - 6x $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm từng hạng tử của hàm số $ f(x) $.

- Nguyên hàm của $ 5x^4 $:
$$ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = x^5 $$

- Nguyên hàm của $ -8x^3 $:
$$ \int -8x^3 \, dx = -8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = -2x^4 $$

- Nguyên hàm của $ -6x $:
$$ \int -6x \, dx = -6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -3x^2 $$

Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số $ C $:

$$ F(x) = x^5 - 2x^4 - 3x^2 + C $$

Vậy, tất cả các nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 5x^4 - 8x^3 - 6x $ là:
$$ F(x) = x^5 - 2x^4 - 3x^2 + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
A. $ F(x) = x^5 - 2x^4 - 3x^2 + C $.

Câu 6:
Để tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính nguyên hàm của mỗi hạng tử trong $ f(x) $.

$$
\int \left( \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024 \right) dx = \frac{1}{3} \int x^3 dx - 2 \int x^2 dx + \int x dx - 2024 \int dx
$$

Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản.

$$
= \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2024x + C
$$

$$
= \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + C
$$

Bước 3: Xác định hằng số $ C $ dựa trên điều kiện $ F(1) = -2024 $.

Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $:

$$
F(1) = \frac{1}{12}(1)^4 - \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - 2024(1) + C = -2024
$$

$$
\frac{1}{12} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2024 + C = -2024
$$

$$
\frac{1}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} - 2024 + C = -2024
$$

$$
\frac{1 - 8 + 6}{12} - 2024 + C = -2024
$$

$$
\frac{-1}{12} - 2024 + C = -2024
$$

$$
C = \frac{1}{12}
$$

Bước 4: Viết lại nguyên hàm $ F(x) $ với hằng số $ C $ đã tìm được.

$$
F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + \frac{1}{12}
$$

Vậy đáp án đúng là:
C. $ \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + \frac{1}{12} $.

Câu 7:
Để tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = (2x - 3)^2 $ thỏa mãn $ F(-1) = -17 $, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) $.

Ta có:
$$ f(x) = (2x - 3)^2 $$

Áp dụng công thức nguyên hàm của dạng $ (ax + b)^n $:
$$ \int (2x - 3)^2 \, dx = \frac{(2x - 3)^3}{3 \cdot 2} + C = \frac{(2x - 3)^3}{6} + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ dựa trên điều kiện $ F(-1) = -17 $.

Thay $ x = -1 $ vào biểu thức nguyên hàm:
$$ F(-1) = \frac{(2(-1) - 3)^3}{6} + C = -17 $$
$$ F(-1) = \frac{(-2 - 3)^3}{6} + C = -17 $$
$$ F(-1) = \frac{(-5)^3}{6} + C = -17 $$
$$ F(-1) = \frac{-125}{6} + C = -17 $$

Giải phương trình để tìm $ C $:
$$ \frac{-125}{6} + C = -17 $$
$$ C = -17 + \frac{125}{6} $$
$$ C = \frac{-102 + 125}{6} $$
$$ C = \frac{23}{6} $$

Bước 3: Viết nguyên hàm $ F(x) $ đầy đủ.

Do đó, nguyên hàm $ F(x) $ là:
$$ F(x) = \frac{(2x - 3)^3}{6} + \frac{23}{6} $$

Bước 4: Kiểm tra lại đáp án.

Chúng ta thấy rằng trong các lựa chọn đã cho, đáp án đúng là:
$$ F(x) = \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + \frac{2}{3} $$

Vậy đáp án đúng là:
D. $ \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + \frac{2}{3} $.

Câu 8:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} $, chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này.

Bước 1: Tính nguyên hàm của $ x^2 $:
$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 $$

Bước 2: Tính nguyên hàm của $ \frac{2}{x^2} $:
$$ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 $$

Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên:
$$ \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 + \frac{2}{x^2} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $$

Trong đó, $ C = C_1 + C_2 $ là hằng số tích phân.

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} $ là:
$$ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
B. $ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $

Đáp án: B. $ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $

Câu 9:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $\int(x^2 + \frac{3}{x} - 2\sqrt{x}) \, dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ của tích phân này.

1. Tính nguyên hàm của $x^2$:
$$
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1
$$

2. Tính nguyên hàm của $\frac{3}{x}$:
$$
\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \int \frac{1}{x} \, dx = 3 \ln |x| + C_2
$$

3. Tính nguyên hàm của $-2\sqrt{x}$:
$$
\int -2\sqrt{x} \, dx = -2 \int x^{1/2} \, dx = -2 \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C_3 = -2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C_3 = -\frac{4}{3} x^{3/2} + C_3
$$

Bây giờ, chúng ta tổng hợp lại các kết quả trên:
$$
\int \left( x^2 + \frac{3}{x} - 2\sqrt{x} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| - \frac{4}{3} x^{3/2} + C
$$
Trong đó, $C = C_1 + C_2 + C_3$ là hằng số tích phân.

Vậy, nguyên hàm của hàm số $\int(x^2 + \frac{3}{x} - 2\sqrt{x}) \, dx$ là:
$$
\boxed{\frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| - \frac{4}{3} x^{3/2} + C}
$$