giúp tui với PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 17. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai,$A.~\int(\sqrt[3]{x^2}+x-2)dx=\frac35\sqrt[3]{x^5}+\frac12x^2-2x+C$,$B.~\int\frac1{2023x^{2024}}dx=\frac1{2023^2x^{2023}}+C$,$C.~\int(2x-2024)^2dx=x-1012+C$,$D.~\int(\frac14x^4+4x^3)dx=\frac1{20}x^5+\frac43x^4+C$,Câu 18. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai,$A.~F(x)=\frac{x^4}4-\frac32x^2+\ln|x|+C$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3-3x+\frac1x.$,$B.~F(x)=\frac{(5x+3)^6}6+C$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=(5x+3)^5.$,$C.~F(x)=\frac32x\sqrt x+\frac43x\sqrt[3]x+\frac54x\sqrt[4]x+C$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sqrt x+\sqrt[3]x+\sqrt[4]x.$,$D.~F(x)=\frac13x^3-2024x+C$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^3-2024x}x.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.,Câu 19. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac2{\sqrt x}+3^x+3x-2.$,Trả lời: .....,Câu 20. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=mx^3-3x^2+\frac{4m}{x^3}+\frac5{2x}-7m$ (m là tham số).,Trả lời: .....,Câu 21. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac1{\sqrt x}-\frac2{\sqrt[3]x}.$,Trả lời: .....

Question

Accepted Answer

Câu 17.
A. Ta có $\int(\sqrt[3]{x^2}+x-2)dx = \int(x^{\frac{2}{3}} + x - 2)dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + \frac{x^2}{2} - 2x + C = \frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5} + \frac{1}{2}x^2 - 2x + C$. 
Vậy mệnh đề A đúng.

B. Ta có $\int\frac{1}{2023x^{2024}}dx = \frac{1}{2023}\int x^{-2024}dx = \frac{1}{2023} \cdot \frac{x^{-2023}}{-2023} + C = -\frac{1}{2023^2x^{2023}} + C$. 
Vậy mệnh đề B sai.

C. Ta có $\int(2x-2024)^2dx = \int(4x^2 - 8096x + 2024^2)dx = \frac{4x^3}{3} - 4048x^2 + 2024^2x + C$. 
Vậy mệnh đề C sai.

D. Ta có $\int(\frac{1}{4}x^4 + 4x^3)dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{1}{20}x^5 + x^4 + C$. 
Vậy mệnh đề D sai.

Đáp án đúng là: A

Câu 18.
Để kiểm tra xem các mệnh đề trên đúng hay sai, ta sẽ tính đạo hàm của mỗi nguyên hàm $ F(x) $ và so sánh với hàm số $ f(x) $ tương ứng.

A. $ F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{3}{2}x^2 + \ln|x| + C $

Tính đạo hàm của $ F(x) $:
$$ F'(x) = \left( \frac{x^4}{4} \right)' - \left( \frac{3}{2}x^2 \right)' + (\ln|x|)' + C' $$
$$ F'(x) = x^3 - 3x + \frac{1}{x} $$

So sánh với $ f(x) = x^3 - 3x + \frac{1}{x} $:
$$ F'(x) = f(x) $$

Vậy mệnh đề A đúng.

B. $ F(x) = \frac{(5x+3)^6}{6} + C $

Tính đạo hàm của $ F(x) $:
$$ F'(x) = \left( \frac{(5x+3)^6}{6} \right)' + C' $$
$$ F'(x) = \frac{1}{6} \cdot 6(5x+3)^5 \cdot 5 $$
$$ F'(x) = 5(5x+3)^5 $$

So sánh với $ f(x) = (5x+3)^5 $:
$$ F'(x) \neq f(x) $$

Vậy mệnh đề B sai.

C. $ F(x) = \frac{3}{2}x\sqrt{x} + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C $

Tính đạo hàm của $ F(x) $:
$$ F'(x) = \left( \frac{3}{2}x\sqrt{x} \right)' + \left( \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} \right)' + \left( \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} \right)' + C' $$
$$ F'(x) = \frac{3}{2} \left( x^{3/2} \right)' + \frac{4}{3} \left( x^{4/3} \right)' + \frac{5}{4} \left( x^{5/4} \right)' $$
$$ F'(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}x^{1/3} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}x^{1/4} $$
$$ F'(x) = \frac{9}{4}x^{1/2} + \frac{16}{9}x^{1/3} + \frac{25}{16}x^{1/4} $$

So sánh với $ f(x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x} $:
$$ F'(x) \neq f(x) $$

Vậy mệnh đề C sai.

D. $ F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2024x + C $

Tính đạo hàm của $ F(x) $:
$$ F'(x) = \left( \frac{1}{3}x^3 \right)' - (2024x)' + C' $$
$$ F'(x) = x^2 - 2024 $$

So sánh với $ f(x) = \frac{x^3 - 2024x}{x} $:
$$ f(x) = x^2 - 2024 $$

Vậy mệnh đề D đúng.

Kết luận:
- Mệnh đề A đúng.
- Mệnh đề B sai.
- Mệnh đề C sai.
- Mệnh đề D đúng.

Câu 19.
Để tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 3^x + 3x - 2 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định từng thành phần của hàm số $ f(x) $.

$$ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 3^x + 3x - 2 $$

Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ.

- Nguyên hàm của $ \frac{2}{\sqrt{x}} $:

$$ \int \frac{2}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4 \sqrt{x} $$

- Nguyên hàm của $ 3^x $:

$$ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)} $$

- Nguyên hàm của $ 3x $:

$$ \int 3x \, dx = 3 \int x \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2} $$

- Nguyên hàm của $ -2 $:

$$ \int -2 \, dx = -2x $$

Bước 3: Gộp tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số $ C $.

$$ F(x) = 4 \sqrt{x} + \frac{3^x}{\ln(3)} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C $$

Vậy, nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 3^x + 3x - 2 $ là:

$$ F(x) = 4 \sqrt{x} + \frac{3^x}{\ln(3)} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C $$

Câu 20.
Để tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = mx^3 - 3x^2 + \frac{4m}{x^3} + \frac{5}{2x} - 7m $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định từng thành phần của hàm số $ f(x) $.

$$ f(x) = mx^3 - 3x^2 + \frac{4m}{x^3} + \frac{5}{2x} - 7m $$

Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ.

- Nguyên hàm của $ mx^3 $:
$$ \int mx^3 \, dx = m \int x^3 \, dx = m \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{mx^4}{4} $$

- Nguyên hàm của $ -3x^2 $:
$$ \int -3x^2 \, dx = -3 \int x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 $$

- Nguyên hàm của $ \frac{4m}{x^3} $:
$$ \int \frac{4m}{x^3} \, dx = 4m \int x^{-3} \, dx = 4m \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{2m}{x^2} $$

- Nguyên hàm của $ \frac{5}{2x} $:
$$ \int \frac{5}{2x} \, dx = \frac{5}{2} \int \frac{1}{x} \, dx = \frac{5}{2} \ln |x| $$

- Nguyên hàm của $ -7m $:
$$ \int -7m \, dx = -7m \int 1 \, dx = -7mx $$

Bước 3: Gộp tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số $ C $.

$$ F(x) = \frac{mx^4}{4} - x^3 - \frac{2m}{x^2} + \frac{5}{2} \ln |x| - 7mx + C $$

Vậy, nguyên hàm của hàm số $ f(x) $ là:

$$ F(x) = \frac{mx^4}{4} - x^3 - \frac{2m}{x^2} + \frac{5}{2} \ln |x| - 7mx + C $$

Câu 21.
Để tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các thành phần của hàm số:
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} $$

Bước 2: Viết lại các thành phần dưới dạng lũy thừa:
$$ \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} $$
$$ \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 2x^{-\frac{1}{3}} $$

Do đó, hàm số có thể viết lại là:
$$ f(x) = x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{3}} $$

Bước 3: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ:
- Nguyên hàm của $ x^{-\frac{1}{2}} $:
$$ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\left(-\frac{1}{2} + 1\right)}}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x} $$

- Nguyên hàm của $ 2x^{-\frac{1}{3}} $:
$$ \int 2x^{-\frac{1}{3}} \, dx = 2 \int x^{-\frac{1}{3}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\left(-\frac{1}{3} + 1\right)}}{-\frac{1}{3} + 1} = 2 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} = 3x^{\frac{2}{3}} $$

Bước 4: Kết hợp các nguyên hàm đã tìm được:
$$ F(x) = 2\sqrt{x} - 3x^{\frac{2}{3}} + C $$

Trong đó, $ C $ là hằng số nguyên hàm.

Vậy, nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} $ là:
$$ F(x) = 2\sqrt{x} - 3x^{\frac{2}{3}} + C $$