tìm nguyên hàm Câu 18. Biết rằng $\int^1_0\frac1{x^2+x+1}d$,Câu 19. Biết $\int^2_0\frac{x^2+5x+2}{x^2+4x+3}dx=$

Question

Accepted Answer

Câu 18.
Để tính tích phân $\int^1_0 \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương pháp tính tích phân.
- Ta nhận thấy rằng mẫu số của phân thức là một đa thức bậc hai. Để tính tích phân này, ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số và công thức tích phân cơ bản.

Bước 2: Đổi biến số.
- Ta thực hiện phép chia đa thức để chuẩn bị cho việc sử dụng công thức tích phân cơ bản.
- Ta viết lại mẫu số dưới dạng $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$:
$$ x^2 + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} $$

Bước 3: Thực hiện phép đổi biến số.
- Đặt $u = x + \frac{1}{2}$, suy ra $du = dx$.
- Khi $x = 0$, ta có $u = \frac{1}{2}$.
- Khi $x = 1$, ta có $u = \frac{3}{2}$.

Bước 4: Tính tích phân mới.
- Tích phân ban đầu trở thành:
$$ \int^1_0 \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx = \int^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{u^2 + \frac{3}{4}} \, du $$
- Ta sử dụng công thức tích phân cơ bản:
$$ \int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{u}{a} \right) + C $$
- Ở đây, $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, nên ta có:
$$ \int^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{u^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} \, du = \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \arctan \left( \frac{2u}{\sqrt{3}} \right) \right]^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}} $$

Bước 5: Thay cận vào và tính kết quả.
- Thay cận vào:
$$ \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \arctan \left( \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{\sqrt{3}} \right) - \arctan \left( \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{3}} \right) \right] = \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \arctan \left( \sqrt{3} \right) - \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right] $$
- Ta biết rằng $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ và $\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$, nên:
$$ \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right] = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9} $$

Vậy kết quả của tích phân là:
$$ \int^1_0 \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx = \frac{\pi \sqrt{3}}{9} $$

Câu 19.
Để tính tích phân $\int^2_0\frac{x^2+5x+2}{x^2+4x+3}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn phân thức trong tích phân:
$$
\frac{x^2 + 5x + 2}{x^2 + 4x + 3}
$$

Ta thấy rằng mẫu số $x^2 + 4x + 3$ có thể phân tích thành $(x + 1)(x + 3)$. Ta sẽ thực hiện phép chia đa thức để rút gọn phân thức này.

Thực hiện phép chia:
$$
\frac{x^2 + 5x + 2}{x^2 + 4x + 3} = 1 + \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 3)}
$$

Bước 2: Tách tích phân:
$$
\int^2_0 \left(1 + \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 3)}\right) dx = \int^2_0 1 \, dx + \int^2_0 \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 3)} \, dx
$$

Bước 3: Tính tích phân đầu tiên:
$$
\int^2_0 1 \, dx = [x]^2_0 = 2 - 0 = 2
$$

Bước 4: Tính tích phân thứ hai bằng phương pháp phân tích thành tổng các phân thức đơn giản:
$$
\frac{x - 1}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}
$$

Phương trình này tương đương với:
$$
x - 1 = A(x + 3) + B(x + 1)
$$

Bằng cách so sánh hệ số, ta tìm được:
$$
A + B = 1 \quad \text{và} \quad 3A + B = -1
$$

Giải hệ phương trình này, ta có:
$$
A = -1 \quad \text{và} \quad B = 2
$$

Do đó:
$$
\frac{x - 1}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{-1}{x + 1} + \frac{2}{x + 3}
$$

Bước 5: Tính tích phân từng phần:
$$
\int^2_0 \left(\frac{-1}{x + 1} + \frac{2}{x + 3}\right) dx = -\int^2_0 \frac{1}{x + 1} \, dx + 2 \int^2_0 \frac{1}{x + 3} \, dx
$$

Tích phân từng phần:
$$
-\int^2_0 \frac{1}{x + 1} \, dx = -[\ln|x + 1|]^2_0 = -(\ln 3 - \ln 1) = -\ln 3
$$
$$
2 \int^2_0 \frac{1}{x + 3} \, dx = 2 [\ln|x + 3|]^2_0 = 2 (\ln 5 - \ln 3) = 2 \ln 5 - 2 \ln 3
$$

Bước 6: Kết hợp các kết quả:
$$
-\ln 3 + 2 \ln 5 - 2 \ln 3 = 2 \ln 5 - 3 \ln 3
$$

Bước 7: Tổng hợp kết quả cuối cùng:
$$
\int^2_0 \frac{x^2 + 5x + 2}{x^2 + 4x + 3} \, dx = 2 + 2 \ln 5 - 3 \ln 3
$$

Đáp số:
$$
\boxed{2 + 2 \ln 5 - 3 \ln 3}
$$