Cho khối chóp $S \cdot A B C D$ có đáy là hình vuông, tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S . A B C D$ có diện tích $84 \pi\left(\mathrm{~cm}^2\right)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B D$.

Question

Accepted Answer

Gọi $M$ là trung điểm $A B$ và $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $S A B, O$ là tâm của hình vuông $A B C D$. Ta có $O M \perp(S A B)$. Dựng trục của hình vuông $A B C D$ và trục tam giác $S A B$, khi đó chúng đồng phẳng và cắt nhau tại $I$ tức là $O I, G I$ là các trục hình vuông $A B C D$ và trục tam giác $S A B$.
Bán kính mặt cầu là $R=S I$. Ta có $4 \pi R^2=84 \pi\left(\mathrm{~cm}^2\right) \Leftrightarrow R=\sqrt{21}(\mathrm{~cm})$. Đặt $A B=x(\mathrm{~cm})$
Trong tam giác vuông $S G I$ ta có $S I^2=S G^2+G I^2$ (1), ta có $G I=\frac{x}{2}, S G=\frac{x \sqrt{3}}{3}$ thay vào (1) tính được $x=6$.
Dựng hình bình hành $A B D E$. Khoảng cách $d$ giữa $B D$ và $S A$ là $d=d(B D,(S A E))$ $d=d(B,(S A E))=2 d(M,(S A E))$. Kè $M K \perp A E$ ta có $(S A E) \perp(S M K)$.
$d(M,(S A E))=d(M, S K)=\frac{S M \cdot M K}{\sqrt{S M^2+M K^2}}(2)$. Ta có $S M=\frac{x \sqrt{3}}{2}=3 \sqrt{3}, M K=\frac{x \sqrt{2}}{4}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
Thay các giá trị vào (2) tính được $d(M,(S A E))=\frac{3 \sqrt{21}}{7}$.
Vậy khoảng cách giữa $S A$ và $B D$ là $\frac{6 \sqrt{21}}{7}$.

Cho khối chóp có đáy là hình vuông, tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có diện tích...