tính nguyên hàm Câu 27. Cho $\int^3_2\frac{dx}{(x+1)(x+2)}=$

Question

Accepted Answer

Câu 27.
Để tính tích phân $\int^3_2\frac{dx}{(x+1)(x+2)}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức thành tổng của hai phân thức đơn giản hơn:
$$
\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}
$$
Nhân cả hai vế với $(x+1)(x+2)$ để tìm $A$ và $B$:
$$
1 = A(x+2) + B(x+1)
$$
Đặt $x = -1$ vào phương trình trên:
$$
1 = A(-1+2) + B(-1+1) \Rightarrow 1 = A \Rightarrow A = 1
$$
Đặt $x = -2$ vào phương trình trên:
$$
1 = A(-2+2) + B(-2+1) \Rightarrow 1 = -B \Rightarrow B = -1
$$
Vậy ta có:
$$
\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}
$$

Bước 2: Tính tích phân từng phần:
$$
\int^3_2 \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) dx = \int^3_2 \frac{1}{x+1} dx - \int^3_2 \frac{1}{x+2} dx
$$

Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$
\int^3_2 \frac{1}{x+1} dx = \left[ \ln|x+1| \right]^3_2 = \ln|3+1| - \ln|2+1| = \ln 4 - \ln 3 = \ln \left(\frac{4}{3}\right)
$$
$$
\int^3_2 \frac{1}{x+2} dx = \left[ \ln|x+2| \right]^3_2 = \ln|3+2| - \ln|2+2| = \ln 5 - \ln 4 = \ln \left(\frac{5}{4}\right)
$$

Bước 4: Kết hợp kết quả:
$$
\int^3_2 \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) dx = \ln \left(\frac{4}{3}\right) - \ln \left(\frac{5}{4}\right) = \ln \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right) = \ln \left(\frac{16}{15}\right)
$$

Vậy:
$$
\int^3_2 \frac{dx}{(x+1)(x+2)} = \ln \left(\frac{16}{15}\right)
$$