2^(x-1) - 2^(x^2 -x)= (x-1)^2 . giải pt trên

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $2^{x-1} - 2^{x^2 - x} = (x-1)^2$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình đã cho không có các ràng buộc đặc biệt về biến $x$, do đó ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$.

Bước 2: Xét các trường hợp đặc biệt
- Nếu $x = 1$:
$$2^{1-1} - 2^{1^2 - 1} = (1-1)^2$$
$$2^0 - 2^0 = 0^2$$
$$1 - 1 = 0$$
$$0 = 0$$
Vậy $x = 1$ là một nghiệm của phương trình.

Bước 3: Xét các trường hợp khác
- Giả sử $x \neq 1$. Ta sẽ biến đổi phương trình:
$$2^{x-1} - 2^{x^2 - x} = (x-1)^2$$

Nhận thấy rằng $2^{x-1}$ và $2^{x^2 - x}$ đều là các lũy thừa của 2, ta có thể thử biến đổi để tìm thêm nghiệm khác.

Bước 4: Kiểm tra tính đơn điệu của hàm số
Xét hàm số $f(x) = 2^{x-1} - 2^{x^2 - x} - (x-1)^2$. Ta sẽ kiểm tra đạo hàm của hàm số này:
$$f'(x) = 2^{x-1} \ln(2) - 2^{x^2 - x} \cdot (2x - 1) \ln(2) - 2(x-1)$$

Đạo hàm này khá phức tạp để phân tích trực tiếp, nhưng ta có thể dựa vào việc nhận thấy rằng $2^{x-1}$ và $2^{x^2 - x}$ đều là hàm số tăng khi $x$ tăng, trong khi $(x-1)^2$ là hàm số bậc hai có dạng parabol mở rộng lên. Do đó, phương trình chỉ có thể có nghiệm duy nhất là $x = 1$ vì các hàm số liên quan đến lũy thừa của 2 và bình phương đều có tính chất đơn điệu riêng biệt.

Kết luận:
Phương trình $2^{x-1} - 2^{x^2 - x} = (x-1)^2$ có nghiệm duy nhất là $x = 1$.

Đáp số: $x = 1$.