giúp với ạ

Câu 11. Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \): \[ I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Trong đó: - \( A(2, 3) \) có \( x_1 = 2 \) và \( y_1 = 3 \) - \( B(4, 7) \) có \( x_2 = 4 \) và \( y_2 = 7 \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ I\left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) \] Tính toán từng phần: \[ \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] Vậy tọa độ trung điểm \( I \) là: \[ I(3, 5) \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( I(3, 5) \) Câu 12. Để tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Bước 1: Tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC. Trung điểm của đoạn thẳng AC là: \[ M = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (1, 2) \] Bước 2: Vì M cũng là trung điểm của đoạn thẳng BD, ta có thể viết phương trình trung điểm của BD: \[ M = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) \] Thay tọa độ của B và M vào: \[ (1, 2) = \left( \frac{1 + x_D}{2}, \frac{4 + y_D}{2} \right) \] Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm tọa độ của D. \[ 1 = \frac{1 + x_D}{2} \Rightarrow 2 = 1 + x_D \Rightarrow x_D = 1 \] \[ 2 = \frac{4 + y_D}{2} \Rightarrow 4 = 4 + y_D \Rightarrow y_D = 0 \] Vậy tọa độ của điểm D là: \[ D(1, 0) \] Đáp án đúng là: C. \( D(1, 0) \) Câu 1. Để giải quyết các mệnh đề trên, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên tính chất của hàm số bậc hai và phương pháp giải bất phương trình bậc hai. Hàm số đã cho là $y = f(x) = x^2 + 5x - 6$. a) Bất phương trình $x^2 + 5x - 6 \leq 0$ có tập nghiệm $S = [-6; 1]$. Phương pháp giải: - Tìm nghiệm của phương trình $x^2 + 5x - 6 = 0$. - Xác định dấu của biểu thức $x^2 + 5x - 6$ trên các khoảng xác định bởi các nghiệm. Giải chi tiết: - Phương trình $x^2 + 5x - 6 = 0$ có các nghiệm là $x = -6$ và $x = 1$. - Biểu thức $x^2 + 5x - 6$ có dạng $(x + 6)(x - 1)$. Ta vẽ bảng xét dấu: | | $x < -6$ | $x = -6$ | $-6 < x < 1$ | $x = 1$ | $x > 1$ | |---|----------|----------|--------------|---------|---------| | $x + 6$ | - | 0 | + | + | + | | $x - 1$ | - | - | - | 0 | + | | $(x + 6)(x - 1)$ | + | 0 | - | 0 | + | Từ bảng xét dấu, ta thấy $x^2 + 5x - 6 \leq 0$ khi $-6 \leq x \leq 1$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^2 + 5x - 6 \leq 0$ là $S = [-6; 1]$. Mệnh đề này là đúng. b) $f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in (-6; 1)$. Phương pháp giải: - Dựa vào kết quả từ phần a), ta biết rằng $x^2 + 5x - 6 < 0$ khi $-6 < x < 1$. Vậy $f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in (-6; 1)$. Mệnh đề này là đúng. c) Tập nghiệm của bất phương trình $x^2 + 5x - 6 \geq 0$ là $S = (-\infty; -1] \cup [6; +\infty)$. Phương pháp giải: - Dựa vào kết quả từ phần a), ta biết rằng $x^2 + 5x - 6 \geq 0$ khi $x \leq -6$ hoặc $x \geq 1$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^2 + 5x - 6 \geq 0$ là $S = (-\infty; -6] \cup [1; +\infty)$. Mệnh đề này là sai vì tập nghiệm đúng là $S = (-\infty; -6] \cup [1; +\infty)$. d) $f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in (-6; 1)$. Phương pháp giải: - Dựa vào kết quả từ phần a), ta biết rằng $x^2 + 5x - 6 > 0$ khi $x < -6$ hoặc $x > 1$. Vậy $f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$. Mệnh đề này là sai vì tập nghiệm đúng là $x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 2. a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(4;-1).$ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-4)\times 4+1\times (-1)=-17.$ Vậy mệnh đề này sai. b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(4;-1).$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-4+4;1-1)=(0;0).$ Vậy mệnh đề này sai. c) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;1).$ Vậy mệnh đề này đúng. d) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng BC là $I(\frac{-3+5}{2};\frac{5+3}{2})=(1;4).$ Vậy mệnh đề này đúng. Câu 1. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow d$, ta thực hiện phép nhân và cộng các vectơ theo công thức đã cho. \begin{align} \overrightarrow d &= 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c \\ &= 2(-2;0) - 3(1;\frac{2}{3}) + 5(4;-6) \\ &= (-4;0) - (3;2) + (20;-30) \\ &= (-4 - 3 + 20; 0 - 2 - 30) \\ &= (13; -32) \end{align} Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow d$ là $(13; -32)$, suy ra $m = 13$ và $n = -32$. Giá trị của biểu thức $P = m + n$ là: \[ P = 13 + (-32) = -19 \] Đáp số: $P = -19$. Câu 2. Câu 1: Điều kiện: $2x^2 + 3x + 1 \geq 0$ và $x^2 + 4x + 3 \geq 0$. $\sqrt{2x^2 + 3x + 1} = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$ $\Rightarrow 2x^2 + 3x + 1 = x^2 + 4x + 3$ $x^2 - x - 2 = 0$ $(x - 2)(x + 1) = 0$ $x = 2$ hoặc $x = -1$ Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 2$ và $x = -1$. Do đó, $P = a + b = 2 + (-1) = 1$. Câu 2: Điều kiện: $2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}$. $\sqrt{2x - 3} = x - 3$ $\Rightarrow 2x - 3 = (x - 3)^2$ $2x - 3 = x^2 - 6x + 9$ $x^2 - 8x + 12 = 0$ $(x - 2)(x - 6) = 0$ $x = 2$ hoặc $x = 6$ Kiểm tra điều kiện: - Với $x = 2$: $2 \geq \frac{3}{2}$ (thỏa mãn) - Với $x = 6$: $6 \geq \frac{3}{2}$ (thỏa mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 2$ và $x = 6$. Câu 3: Tính khoảng cách giữa các đỉnh: - $AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ - $BC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ - $CA = \sqrt{((-1) - (-1))^2 + ((-3) - 1)^2} = \sqrt{0 + (-4)^2} = 4$ Chu vi tam giác ABC là: $P = AB + BC + CA = 3 + 5 + 4 = 12$ Đáp số: - Câu 1: $P = 1$ - Câu 2: $x = 2$ hoặc $x = 6$ - Câu 3: Chu vi tam giác ABC là 12.