cíuuu dò cho tui bài ktr lúc chìu

Câu 8. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 3t \\ y = 1 - t \end{array} \right. \] Chúng ta cần xác định các hệ số của \(t\) trong hai phương trình này. - Từ phương trình \(x = 5 + 3t\), ta thấy hệ số của \(t\) là 3. - Từ phương trình \(y = 1 - t\), ta thấy hệ số của \(t\) là -1. Do đó, một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \((3, -1)\). Vậy đáp án đúng là: D. \(\overrightarrow{u_2} = (3, -1)\). Câu 9. Để xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(D: x + 2y - 5 = 0\), ta cần tìm vectơ có hướng vuông góc với đường thẳng này. Phương trình đường thẳng \(D\) có dạng tổng quát là: \[ x + 2y - 5 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ có dạng \((a, b)\), trong đó \(a\) và \(b\) là các hệ số của \(x\) và \(y\) trong phương trình tổng quát. Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(D\) là: \[ \overrightarrow{n} = (1, 2) \] So sánh với các đáp án đã cho: A. \(\overrightarrow{n_4} = (2, -3)\) B. \(\overrightarrow{n_3} = (-2, -1)\) C. \(\overrightarrow{n_2} = (2, 1)\) D. \(\overrightarrow{n_1} = (1, 2)\) Ta thấy rằng vectơ pháp tuyến đúng là: \[ \overrightarrow{n_1} = (1, 2) \] Vậy đáp án đúng là: D. \(\overrightarrow{n_1} = (1, 2)\) Câu 10. Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta_1: 5x - 4y + 23 = 0$ và $\Delta_2: 5x + 4y - 33 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hệ phương trình từ hai đường thẳng: \[ \begin{cases} 5x - 4y + 23 = 0 \\ 5x + 4y - 33 = 0 \end{cases} \] Bước 2: Giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng trừ. Ta cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ biến $y$: \[ (5x - 4y + 23) + (5x + 4y - 33) = 0 + 0 \] \[ 10x - 10 = 0 \] \[ 10x = 10 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Thay giá trị $x = 1$ vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của $y$. Ta chọn phương trình thứ nhất: \[ 5(1) - 4y + 23 = 0 \] \[ 5 - 4y + 23 = 0 \] \[ 28 - 4y = 0 \] \[ 4y = 28 \] \[ y = 7 \] Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là $(1, 7)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $A(1;7)$. Câu 11. Để tìm hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ (với $a \neq 0$), ta sử dụng công thức hoành độ đỉnh của parabol. Công thức hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Do đó, trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là: A. $x = -\frac{b}{2a}$ Vậy, hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ là $x = -\frac{b}{2a}$. Câu 12. Điều kiện xác định: \[ x^2 + 3x - 2 \geq 0 \quad \text{và} \quad 3 - x^2 \geq 0 \] Tìm tập nghiệm của \(x^2 + 3x - 2 \geq 0\): Phương trình \(x^2 + 3x - 2 = 0\) có hai nghiệm: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \] Do đó, tập nghiệm của \(x^2 + 3x - 2 \geq 0\) là: \[ x \leq \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x \geq \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \] Tìm tập nghiệm của \(3 - x^2 \geq 0\): \[ x^2 \leq 3 \implies -\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3} \] Giao của hai tập nghiệm trên: \[ -\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3} \quad \text{và} \quad x \leq \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x \geq \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \] Ta thấy rằng \(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\) là một số âm lớn hơn \(-\sqrt{3}\) và \(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\) là một số dương nhỏ hơn \(\sqrt{3}\). Do đó, giao của các tập nghiệm là: \[ \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \leq x \leq \sqrt{3} \] Bây giờ, ta bình phương cả hai vế của phương trình ban đầu: \[ x^2 + 3x - 2 = 3 - x^2 \] \[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4} \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{5}{2} \] Kiểm tra điều kiện xác định: - \(x = 1\) nằm trong khoảng \(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \leq x \leq \sqrt{3}\) - \(x = -\frac{5}{2}\) không nằm trong khoảng \(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \leq x \leq \sqrt{3}\) Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm \(x = 1\). Đáp án đúng là: B. 1. Câu 1. a) Đúng vì $\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n_1=(2;1),\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n_2=(1;-2).$ b) Đúng vì $\left\{\begin{array}{l}2x+y+15=0\\ x-2y-3=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{27}{5}\\ y=-\frac{21}{5}\end{array}\right..$ c) Đúng vì $\overrightarrow n_1.\overrightarrow n_2=2\times 1+1\times (-2)=0.$ d) Đúng vì $\Delta_1,\Delta_2$ cắt nhau. Câu 2. a) Từ đồ thị ta thấy: $M=f(0)=2$ và $m=f(2)=-10.$ Suy ra: $M+m=2-10=-8.$ b) Từ đồ thị ta thấy: $f(x)>0,~\forall x\in(2;+\infty).$ c) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb R.$ d) Tọa độ đỉnh $I(2;-6).$ Câu 1. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(3;2) \) đến đường thẳng \( \Delta_1: 2x + y + 15 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó: - \( a = 2 \) - \( b = 1 \) - \( c = 15 \) - \( x_0 = 3 \) - \( y_0 = 2 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 15|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \] \[ d = \frac{|6 + 2 + 15|}{\sqrt{4 + 1}} \] \[ d = \frac{|23|}{\sqrt{5}} \] \[ d = \frac{23}{\sqrt{5}} \] Chuyển về dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần chục: \[ d \approx \frac{23}{2.236} \approx 10.28 \] Làm tròn đến hàng phần chục: \[ d \approx 10.3 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(3;2) \) đến đường thẳng \( \Delta_1 \) là \( 10.3 \). Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình của parabol và tính toán các điểm tương ứng. 1. Xác định hệ tọa độ: - Lấy điểm giữa của khoảng cách giữa hai chân cổng làm gốc tọa độ \(O\). - Trục \(Ox\) nằm ngang, đi qua điểm giữa hai chân cổng. - Trục \(Oy\) đứng thẳng đứng, đi qua đỉnh của cổng. 2. Xác định các điểm trên parabol: - Hai chân cổng nằm ở các điểm \((-81, 0)\) và \((81, 0)\). - Điểm \(M\) có tọa độ \((10, 43)\). 3. Lập phương trình parabol: - Parabol có dạng \(y = ax^2 + bx + c\). - Vì parabol đi qua gốc tọa độ \(O(0, 0)\), nên \(c = 0\). - Phương trình trở thành \(y = ax^2 + bx\). 4. Áp dụng điều kiện: - Parabol đi qua điểm \((-81, 0)\): \[ 0 = a(-81)^2 + b(-81) \implies 0 = 6561a - 81b \implies 81b = 6561a \implies b = 81a \] - Parabol đi qua điểm \((10, 43)\): \[ 43 = a(10)^2 + b(10) \implies 43 = 100a + 10b \] Thay \(b = 81a\) vào: \[ 43 = 100a + 10(81a) \implies 43 = 100a + 810a \implies 43 = 910a \implies a = \frac{43}{910} \] \[ b = 81a = 81 \times \frac{43}{910} = \frac{3483}{910} \] 5. Phương trình parabol: \[ y = \frac{43}{910}x^2 + \frac{3483}{910}x \] 6. Tìm đỉnh của parabol: - Đỉnh của parabol \(y = ax^2 + bx\) có tọa độ \(\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\). - Tọa độ đỉnh: \[ x = -\frac{\frac{3483}{910}}{2 \times \frac{43}{910}} = -\frac{3483}{86} = -40.5 \] \[ y = \frac{43}{910}(-40.5)^2 + \frac{3483}{910}(-40.5) \] \[ y = \frac{43}{910} \times 1640.25 - \frac{3483}{910} \times 40.5 \] \[ y = \frac{70530.75}{910} - \frac{140836.5}{910} = \frac{-70305.75}{910} = 77.26 \] Vậy độ cao của cổng Arch là khoảng 77 mét (làm tròn đến hàng đơn vị).