bsjidjsjsjsnds Bài tập 8: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=\frac{3x^3+1}x.$ Khi đó hãy tính giá trị biểu thức $f(-3)+f(3)$,biết $f(1)=2,f(-1)=3.$,Bài tập 9: Tìm hàm số $y=f(x)$ biết $f^\prime(x)=3x^2+2x-m+1,~f(2)=1$ và đồ thị của hàm số $y=f(x)$,cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5.,Bài tập 10: Tìm giá trị của tham số m biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac1{2\sqrt{x+1}}+m-1$ thỏa,mãn $F(0)=0$ và $F(3)=7.$

Question

Accepted Answer

Bài tập 8: Để tính giá trị biểu thức $f(-3) + f(3)$, ta cần biết giá trị của $f(x)$ tại các điểm $x = -3$ và $x = 3$. Tuy nhiên, ta chỉ biết giá trị của $f(x)$ tại các điểm $x = 1$ và $x = -1$. Do đó, ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm hiểu thêm về hàm số $f(x)$. Ta có đạo hàm của hàm số $f(x)$ là: $$ f'(x) = \frac{3x^3 + 1}{x} $$ Để tìm $f(x)$, ta cần tích phân đạo hàm $f'(x)$: $$ f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left( \frac{3x^3 + 1}{x} \right) \, dx $$ $$ f(x) = \int \left( 3x^2 + \frac{1}{x} \right) \, dx $$ $$ f(x) = \int 3x^2 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx $$ $$ f(x) = x^3 + \ln|x| + C $$ Trong đó, $C$ là hằng số tích phân. Để xác định giá trị của $C$, ta sử dụng các giá trị đã biết của $f(x)$ tại các điểm $x = 1$ và $x = -1$. Từ $f(1) = 2$, ta có: $$ f(1) = 1^3 + \ln|1| + C = 2 $$ $$ 1 + 0 + C = 2 $$ $$ C = 1 $$ Từ $f(-1) = 3$, ta có: $$ f(-1) = (-1)^3 + \ln|-1| + C = 3 $$ $$ -1 + 0 + C = 3 $$ $$ C = 4 $$ Như vậy, ta thấy rằng giá trị của $C$ không nhất quán giữa hai giá trị đã biết. Điều này có thể do hàm số $f(x)$ có dạng khác nhau ở hai miền $x > 0$ và $x < 0$. Ta giả sử rằng hàm số có dạng: $$ f(x) = x^3 + \ln|x| + C_1 \quad \text{cho} \quad x > 0 $$ $$ f(x) = x^3 + \ln|x| + C_2 \quad \text{cho} \quad x < 0 $$ Từ $f(1) = 2$, ta có: $$ f(1) = 1^3 + \ln|1| + C_1 = 2 $$ $$ 1 + 0 + C_1 = 2 $$ $$ C_1 = 1 $$ Từ $f(-1) = 3$, ta có: $$ f(-1) = (-1)^3 + \ln|-1| + C_2 = 3 $$ $$ -1 + 0 + C_2 = 3 $$ $$ C_2 = 4 $$ Do đó, ta có: $$ f(x) = x^3 + \ln|x| + 1 \quad \text{cho} \quad x > 0 $$ $$ f(x) = x^3 + \ln|x| + 4 \quad \text{cho} \quad x < 0 $$ Bây giờ, ta tính $f(-3)$ và $f(3)$: $$ f(3) = 3^3 + \ln|3| + 1 = 27 + \ln 3 + 1 = 28 + \ln 3 $$ $$ f(-3) = (-3)^3 + \ln|-3| + 4 = -27 + \ln 3 + 4 = -23 + \ln 3 $$ Cuối cùng, ta tính giá trị biểu thức $f(-3) + f(3)$: $$ f(-3) + f(3) = (-23 + \ln 3) + (28 + \ln 3) $$ $$ f(-3) + f(3) = -23 + 28 + \ln 3 + \ln 3 $$ $$ f(-3) + f(3) = 5 + 2\ln 3 $$ Đáp số: $5 + 2\ln 3$ Bài tập 9: Để tìm hàm số $ y = f(x) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm $ f(x) $ từ $ f'(x) $: Ta có $ f'(x) = 3x^2 + 2x - m + 1 $. Để tìm $ f(x) $, ta tích phân $ f'(x) $: $$ f(x) = \int (3x^2 + 2x - m + 1) \, dx $$ Tích phân từng hạng tử: $$ f(x) = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int (-m + 1) \, dx $$ $$ f(x) = x^3 + x^2 + (-m + 1)x + C $$ Nên: $$ f(x) = x^3 + x^2 + (-m + 1)x + C $$ 2. Xác định $ C $ từ điều kiện $ f(2) = 1 $: Thay $ x = 2 $ vào $ f(x) $ và $ f(2) = 1 $: $$ f(2) = 2^3 + 2^2 + (-m + 1) \cdot 2 + C = 1 $$ $$ 8 + 4 + (-2m + 2) + C = 1 $$ $$ 14 - 2m + C = 1 $$ $$ C = 1 - 14 + 2m $$ $$ C = 2m - 13 $$ 3. Xác định $ m $ từ điều kiện cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5: Đồ thị cắt trục tung tại điểm có $ x = 0 $, nên: $$ f(0) = 0^3 + 0^2 + (-m + 1) \cdot 0 + C = -5 $$ $$ C = -5 $$ Từ $ C = 2m - 13 $, ta thay vào: $$ 2m - 13 = -5 $$ $$ 2m = 8 $$ $$ m = 4 $$ 4. Thay $ m $ và $ C $ vào $ f(x) $: Với $ m = 4 $ và $ C = -5 $, ta có: $$ f(x) = x^3 + x^2 + (-4 + 1)x - 5 $$ $$ f(x) = x^3 + x^2 - 3x - 5 $$ Vậy hàm số $ y = f(x) $ là: $$ f(x) = x^3 + x^2 - 3x - 5 $$ Bài tập 10: Để tìm giá trị của tham số $ m $ sao cho $ F(x) $ là nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + m - 1 $ và thỏa mãn $ F(0) = 0 $ và $ F(3) = 7 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) $. Nguyên hàm của $ \frac{1}{2\sqrt{x+1}} $ là: $$ \int \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \, dx = \frac{1}{2} \int (x+1)^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \cdot 2(x+1)^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x+1} + C $$ Nguyên hàm của $ m - 1 $ là: $$ \int (m - 1) \, dx = (m - 1)x + C $$ Vậy, nguyên hàm tổng của hai hàm này là: $$ F(x) = \sqrt{x+1} + (m - 1)x + C $$ Bước 2: Áp dụng điều kiện $ F(0) = 0 $ để tìm hằng số $ C $. $$ F(0) = \sqrt{0+1} + (m - 1) \cdot 0 + C = 1 + C $$ $$ 1 + C = 0 $$ $$ C = -1 $$ Do đó, ta có: $$ F(x) = \sqrt{x+1} + (m - 1)x - 1 $$ Bước 3: Áp dụng điều kiện $ F(3) = 7 $ để tìm giá trị của $ m $. $$ F(3) = \sqrt{3+1} + (m - 1) \cdot 3 - 1 = 7 $$ $$ \sqrt{4} + 3(m - 1) - 1 = 7 $$ $$ 2 + 3(m - 1) - 1 = 7 $$ $$ 1 + 3(m - 1) = 7 $$ $$ 3(m - 1) = 6 $$ $$ m - 1 = 2 $$ $$ m = 3 $$ Vậy giá trị của tham số $ m $ là $ m = 3 $.