một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0

Question

một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0<x<2000), tổng số tiền doanh nghiệp thu đc là F(x) = 2000x-x^2 (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là G(x) = x^2 + 1440x + 50 (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán đc là t (nghìn đồng) (0<t<300).Mức thuế phụ thu t (trên 1 đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu đc số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cg thu đc là lợi nhuận nhiều nhất theo mức thuế phụ thu đó

Accepted Answer

Lợi nhuận của doanh nghiệp là:
$$ P(x) = F(x) - G(x) - tx = (2000x - x^2) - (x^2 + 1440x + 50) - tx = -2x^2 + (560 - t)x - 50 $$

Để doanh nghiệp có lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị của $ x $ làm cho $ P(x) $ đạt cực đại. Ta tính đạo hàm của $ P(x) $:
$$ P'(x) = -4x + 560 - t $$

Đặt $ P'(x) = 0 $:
$$ -4x + 560 - t = 0 $$
$$ x = \frac{560 - t}{4} $$

Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai để đảm bảo đây là điểm cực đại:
$$ P''(x) = -4 < 0 $$

Vậy $ x = \frac{560 - t}{4} $ là điểm cực đại của $ P(x) $.

Tiếp theo, ta tính số tiền thuế phụ thu mà nhà nước thu được:
$$ T(x) = tx $$

Thay $ x = \frac{560 - t}{4} $ vào $ T(x) $:
$$ T\left(\frac{560 - t}{4}\right) = t \cdot \frac{560 - t}{4} = \frac{t(560 - t)}{4} $$

Để số tiền thuế phụ thu lớn nhất, ta cần tìm giá trị của $ t $ làm cho $ T(t) = \frac{t(560 - t)}{4} $ đạt cực đại. Ta tính đạo hàm của $ T(t) $:
$$ T'(t) = \frac{1}{4} (560 - 2t) $$

Đặt $ T'(t) = 0 $:
$$ \frac{1}{4} (560 - 2t) = 0 $$
$$ 560 - 2t = 0 $$
$$ t = 280 $$

Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai để đảm bảo đây là điểm cực đại:
$$ T''(t) = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} < 0 $$

Vậy $ t = 280 $ là giá trị làm cho số tiền thuế phụ thu lớn nhất.

Kết luận: Mức thuế phụ thu $ t $ trên mỗi đơn vị sản phẩm là 280 nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo mức thuế phụ thu đó.

một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0<x<2000), tổng số tiền doanh nghiệp thu đc là F(x) = 2000x-x^2 (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghi...