Trắc nghiệm đúng sai Câu 4. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích,thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một,,Parabol $(P):~y=-\frac2{25}x^2+2$,a) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)$ liên tục, trục hoành và hai,đường thẳng $x=a,x=b(a

Question

Trắc nghiệm đúng sai Câu 4. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích,thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/dd2cb90411904234bd1dccea065e875c.jpg />,Parabol $(P):~y=-\frac2{25}x^2+2$,a) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)$ liên tục, trục hoành và hai,đường thẳng $x=a,x=b(a<b),$ được tính bằng công thức $S=\int^b_a|f(x)|dx.$,b) Diện tích của cửa rào sắt là $S=\int^{2.5}_{-2.5}(-\frac2{25}x^2+2)dx.$,$c)~\int^{2,5}_{-2,5}(-\frac2{25}x^2+2)dx=(-\frac2{25}x^3+2x)|^{2,5}_{-2,5}.$,$d)~S=1.$

Accepted Answer

Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Xác định diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)$ liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (a < b).

Diện tích S được tính bằng công thức:
$$ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $$

Bước 2: Áp dụng công thức để tính diện tích của cửa rào sắt.

Trong bài toán này, hàm số $f(x) = -\frac{2}{25}x^2 + 2$. Chúng ta cần tính diện tích giới hạn bởi đồ thị của hàm số này, trục hoành và hai đường thẳng $x = -2.5$ và $x = 2.5$.

$$ S = \int_{-2.5}^{2.5} \left( -\frac{2}{25}x^2 + 2 \right) \, dx $$

Bước 3: Tính tích phân.

Chúng ta sẽ tính tích phân từng phần:
$$ \int_{-2.5}^{2.5} \left( -\frac{2}{25}x^2 + 2 \right) \, dx = \int_{-2.5}^{2.5} -\frac{2}{25}x^2 \, dx + \int_{-2.5}^{2.5} 2 \, dx $$

Tính từng phần riêng lẻ:
$$ \int_{-2.5}^{2.5} -\frac{2}{25}x^2 \, dx = -\frac{2}{25} \int_{-2.5}^{2.5} x^2 \, dx $$
$$ \int_{-2.5}^{2.5} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2.5}^{2.5} = \frac{(2.5)^3}{3} - \frac{(-2.5)^3}{3} = \frac{15.625}{3} + \frac{15.625}{3} = \frac{31.25}{3} $$
$$ -\frac{2}{25} \cdot \frac{31.25}{3} = -\frac{2 \cdot 31.25}{75} = -\frac{62.5}{75} = -\frac{5}{6} $$

Tiếp theo, tính phần còn lại:
$$ \int_{-2.5}^{2.5} 2 \, dx = 2 \int_{-2.5}^{2.5} 1 \, dx = 2 \left[ x \right]_{-2.5}^{2.5} = 2 \left( 2.5 - (-2.5) \right) = 2 \cdot 5 = 10 $$

Bước 4: Kết hợp kết quả.

$$ S = -\frac{5}{6} + 10 = \frac{-5 + 60}{6} = \frac{55}{6} $$

Kết luận:
Diện tích của cửa rào sắt là:
$$ S = \frac{55}{6} $$

Đáp số: $\frac{55}{6}$