Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $S B, S C$. Tính theo $a$ bán kính $R$ của mặt cầu đi qua năm điểm $A, B, C, B_1, C_1$.

Question

Accepted Answer

Đặt $S A=x$, gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C, H$ là hình chiếu của $B_1$ trên cạnh $A B, M$ là trung điểm của $A B$.
Ta có $S A^2=S B_1 \cdot S B \Rightarrow \frac{S B_1}{S B}=\frac{S A^2}{S B^2}=\frac{x^2}{a^2+x^2}$, tưong tự ta cũng có $\frac{S C_1}{S C}=\frac{S A^2}{S C^2}=\frac{x^2}{a^2+x^2}$.
Suy ra $B_1 C_1 / / B C, B_1 H / / S A$ nên $\frac{B B_1}{S B}=\frac{H B_1}{S A}=\frac{B H}{A B}=\frac{a^2}{x^2+a^2}$
$\Rightarrow H B_1=\frac{x a^2}{x^2+a^2}, H B=\frac{a x^2}{x^2+a^2}$.
Ta chì cần chứng minh $L A=I B_1=\frac{a \sqrt{3}}{3}$. Giả sử $x>a$ ( $x \leq a$ ta làm tương tự).

Khi đó $H B=\frac{a x^2}{x^2+a^2}>B M=\frac{a}{2}$, suy ra $H M=\frac{a x^2}{x^2+a^2}-\frac{a}{2}=\frac{a\left(x^2-a^2\right)}{2\left(x^2+a^2\right)}$

$I B_1^2=H I^2+B_1 H^2=H M^2+I M^2+B_1 H^2=\frac{a^2}{3} \Rightarrow I B_1=I A=\frac{a \sqrt{3}}{3}$
Vậy $I A=I B=I C=I B_1=I C_1=\frac{a \sqrt{3}}{3}$ là bán kính mặt cầu đi qua năm điểm $A, B, C, B_1, C_1$.

Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là hình chiếu của trên . Tính theo bán kính ...