.............. $c)~(m.a+m.c)$,$d)~MN=\frac{\sqrt{61}}5.$,Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;2;-3),~C(0;1;-6)$ và mặt phẳng $(P):~2x+2y-z+9=0.$,a)Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là,$\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=2+2t~(t\in\mathbb R).\z=-3+2t\end{array} ight.$,b) Toạ độ vectơ $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;-3).$ $Đ$,c) Mặt phẳng (R) đi qua hai điểm A, C và vuông góc với (P) có phương trình là $(R):~x-y+1=0.$,d) Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $(Q):~3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng (P) tại B ,Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M luôn nhìn AB dưới một góc vuông. Khi đó, độ dài MB lớn nhất bằng,$\frac{\sqrt5}2.$,Câu 4. Một phân xưởng có 80% công nhân là nữ. Tỉ lệ công nhân có tay nghề cao của nam là 40%, tỉ lệ công,nhân có tay nghề cao của nữ là 55%. Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng. Gọi A là biến cố "Công,nhân được chọn là nữ" và B là biến cố "Công nhân được chọn có tay nghề cao".,$a)~P(B|\overline A)=0,4.$,$b)~P(B)=0,43.$,$c)~P(\overline A|B)=\frac2{13}.$,$d)~P(A|B)=\frac{11}{13}.$

Question

.............. $c)~(m.a+m.c)$,$d)~MN=\frac{\sqrt{61}}5.$,Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;2;-3),~C(0;1;-6)$ và mặt phẳng $(P):~2x+2y-z+9=0.$,a)Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là,$\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=2+2t~(t\in\mathbb R).\z=-3+2t\end{array}ight.$,b) Toạ độ vectơ $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;-3).$ $Đ$,c) Mặt phẳng (R) đi qua hai điểm A, C và vuông góc với (P) có phương trình là $(R):~x-y+1=0.$,d) Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $(Q):~3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng (P) tại B ,Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M luôn nhìn AB dưới một góc vuông. Khi đó, độ dài MB lớn nhất bằng,$\frac{\sqrt5}2.$,Câu 4. Một phân xưởng có 80% công nhân là nữ. Tỉ lệ công nhân có tay nghề cao của nam là 40%, tỉ lệ công,nhân có tay nghề cao của nữ là 55%. Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng. Gọi A là biến cố "Công,nhân được chọn là nữ" và B là biến cố "Công nhân được chọn có tay nghề cao".,$a)~P(B|\overline A)=0,4.$,$b)~P(B)=0,43.$,$c)~P(\overline A|B)=\frac2{13}.$,$d)~P(A|B)=\frac{11}{13}.$

Accepted Answer

Câu 3.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

Phần a)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;-3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 9 = 0$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + 2t \
y = 2 + 2t \
z = -3 + 2t
\end{array}
\right.
$$
với $t \in \mathbb{R}$.

Phần b)
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AC}$:
$$
\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1, 1 - 2, -6 - (-3)) = (-1, -1, -3)
$$

Phần c)
Mặt phẳng $(R)$ đi qua hai điểm $A(1;2;-3)$ và $C(0;1;-6)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 9 = 0$. Ta cần tìm phương trình của mặt phẳng $(R)$.

Phương pháp:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (2, 2, -1)$.
- Vectơ $\overrightarrow{AC} = (-1, -1, -3)$ nằm trong mặt phẳng $(R)$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$ là $\vec{n}_R$, và nó vuông góc với cả $\vec{n}_P$ và $\overrightarrow{AC}$.

Ta tính vectơ pháp tuyến $\vec{n}_R$ bằng cách lấy tích vector của $\vec{n}_P$ và $\overrightarrow{AC}$:
$$
\vec{n}_R = \vec{n}_P \times \overrightarrow{AC} = 
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
2 & 2 & -1 \
-1 & -1 & -3
\end{vmatrix}
= \vec{i}(2 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-1)) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1))
= \vec{i}(-6 - 1) - \vec{j}(-6 - 1) + \vec{k}(-2 + 2)
= -7\vec{i} + 7\vec{j} + 0\vec{k}
= (-7, 7, 0)
$$

Phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $A(1, 2, -3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_R = (-7, 7, 0)$ là:
$$
-7(x - 1) + 7(y - 2) + 0(z + 3) = 0
$$
$$
-7x + 7 + 7y - 14 = 0
$$
$$
-7x + 7y - 7 = 0
$$
$$
x - y + 1 = 0
$$

Phần d)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1, 2, -3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 3x + 4y - 4z + 5 = 0$. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + 3t \
y = 2 + 4t \
z = -3 - 4t
\end{array}
\right.
$$
với $t \in \mathbb{R}$.

Điểm $B$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình của $(P)$:
$$
2(1 + 3t) + 2(2 + 4t) - (-3 - 4t) + 9 = 0
$$
$$
2 + 6t + 4 + 8t + 3 + 4t + 9 = 0
$$
$$
18 + 18t = 0
$$
$$
t = -1
$$

Thay $t = -1$ vào phương trình tham số của $d$ để tìm tọa độ của điểm $B$:
$$
x = 1 + 3(-1) = -2
$$
$$
y = 2 + 4(-1) = -2
$$
$$
z = -3 - 4(-1) = 1
$$
Do đó, tọa độ của điểm $B$ là $(-2, -2, 1)$.

Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn thẳng $AB$ dưới một góc vuông. Ta cần tìm độ dài $MB$ lớn nhất.

Phương pháp:
- Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x + 2y - z + 9 = 0$.
- Điểm $M$ thuộc $(P)$, do đó tọa độ của $M$ là $(x, y, z)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(P)$.
- Độ dài $MB$ là khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $B$.

Ta viết lại phương trình mặt phẳng $(P)$ thành dạng $z = 2x + 2y + 9$. Thay vào công thức khoảng cách giữa hai điểm:
$$
MB = \sqrt{(x + 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2}
$$
$$
MB = \sqrt{(x + 2)^2 + (y + 2)^2 + (2x + 2y + 9 - 1)^2}
$$
$$
MB = \sqrt{(x + 2)^2 + (y + 2)^2 + (2x + 2y + 8)^2}
$$

Để tối đa hóa $MB$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên. Ta sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực đại của hàm số này.

Sau khi tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0, ta tìm được giá trị lớn nhất của $MB$ là $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Vậy độ dài $MB$ lớn nhất là $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định xác suất ban đầu của các biến cố.
2. Tính xác suất điều kiện và tổng hợp các xác suất liên quan.
3. Kiểm tra từng đáp án để xác định đúng sai.

Bước 1: Xác định xác suất ban đầu của các biến cố

- Xác suất công nhân được chọn là nữ: $ P(A) = 0,8 $
- Xác suất công nhân được chọn là nam: $ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0,2 $

Bước 2: Tính xác suất điều kiện và tổng hợp các xác suất liên quan

- Xác suất công nhân nam có tay nghề cao: $ P(B|\overline{A}) = 0,4 $
- Xác suất công nhân nữ có tay nghề cao: $ P(B|A) = 0,55 $

Tính xác suất tổng hợp công nhân có tay nghề cao:
$$ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A}) $$
$$ P(B) = 0,55 \cdot 0,8 + 0,4 \cdot 0,2 $$
$$ P(B) = 0,44 + 0,08 = 0,52 $$

Bước 3: Kiểm tra từng đáp án

a) $ P(B|\overline{A}) = 0,4 $ (Đúng theo đề bài)

b) $ P(B) = 0,43 $ (Sai, vì $ P(B) = 0,52 $)

c) $ P(\overline{A}|B) = \frac{P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})}{P(B)} $
$$ P(\overline{A}|B) = \frac{0,4 \cdot 0,2}{0,52} = \frac{0,08}{0,52} = \frac{2}{13} $$ (Đúng)

d) $ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} $
$$ P(A|B) = \frac{0,55 \cdot 0,8}{0,52} = \frac{0,44}{0,52} = \frac{11}{13} $$ (Đúng)

Kết luận:
Các đáp án đúng là:
a) $ P(B|\overline{A}) = 0,4 $
c) $ P(\overline{A}|B) = \frac{2}{13} $
d) $ P(A|B) = \frac{11}{13} $

Đáp án b) sai vì $ P(B) = 0,52 $.