giải câu 3 vs 4

Câu 3: Diện tích của khu đất hình vuông là $100~m^2$, do đó mỗi cạnh của khu đất hình vuông có độ dài là $\sqrt{100} = 10~m$. Giả sử cọc nằm ở điểm $(1, 2)$ trên hệ tọa độ, với gốc tọa độ ở một góc của khu đất hình vuông. Ta sẽ vẽ đường thẳng đi qua điểm $(1, 2)$ và song song với một trong hai cạnh của khu đất hình vuông. Ta sẽ tính diện tích của tam giác vuông được tạo thành từ hai cạnh của khu đất hình vuông và đường thẳng này. 1. Vẽ đường thẳng song song với cạnh bên trái: Đường thẳng này sẽ đi qua điểm $(1, 2)$ và song song với cạnh bên trái của khu đất hình vuông. Do đó, nó sẽ có dạng $x = 1$. Tam giác vuông được tạo thành sẽ có hai cạnh góc vuông là cạnh của khu đất hình vuông và đoạn thẳng từ $(1, 2)$ đến $(1, 0)$. Diện tích của tam giác này là: \[ S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1~m^2 \] 2. Vẽ đường thẳng song song với cạnh dưới cùng: Đường thẳng này sẽ đi qua điểm $(1, 2)$ và song song với cạnh dưới cùng của khu đất hình vuông. Do đó, nó sẽ có dạng $y = 2$. Tam giác vuông được tạo thành sẽ có hai cạnh góc vuông là cạnh của khu đất hình vuông và đoạn thẳng từ $(1, 2)$ đến $(0, 2)$. Diện tích của tam giác này là: \[ S_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1~m^2 \] 3. Vẽ đường thẳng đi qua điểm $(1, 2)$ và cắt hai cạnh của khu đất hình vuông: Ta sẽ vẽ đường thẳng đi qua điểm $(1, 2)$ và cắt hai cạnh của khu đất hình vuông tại các điểm $(a, 0)$ và $(0, b)$. Phương trình đường thẳng này có dạng: \[ y - 2 = m(x - 1) \] \[ y = mx - m + 2 \] Để đường thẳng này cắt hai cạnh của khu đất hình vuông, ta có: \[ 0 = ma - m + 2 \Rightarrow a = \frac{m - 2}{m} \] \[ b = -m + 2 \] Diện tích của tam giác này là: \[ S_3 = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times \left(\frac{m - 2}{m}\right) \times (-m + 2) \] Ta cần tối đa hóa diện tích này. Ta thấy rằng diện tích này sẽ lớn nhất khi $a$ và $b$ lớn nhất, tức là khi $m$ lớn nhất. Ta thấy rằng khi $m = 1$, ta có: \[ a = \frac{1 - 2}{1} = -1 \] (không hợp lý vì $a$ phải dương) \[ b = -1 + 2 = 1 \] Khi $m = 2$, ta có: \[ a = \frac{2 - 2}{2} = 0 \] (không hợp lý vì $a$ phải dương) \[ b = -2 + 2 = 0 \] (không hợp lý vì $b$ phải dương) Khi $m = 0$, ta có: \[ a = \frac{0 - 2}{0} \] (không hợp lý vì chia cho 0) Do đó, ta thấy rằng diện tích lớn nhất của tam giác vuông được tạo thành là khi đường thẳng đi qua điểm $(1, 2)$ và song song với một trong hai cạnh của khu đất hình vuông. Vậy diện tích lớn nhất của khu đất có thể rào được là: \[ S_{\text{max}} = 1~m^2 \] Đáp số: 1 m² Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình của parabol và tìm giá trị cực đại của nó. 1. Lập phương trình của parabol: - Ta chọn hệ tọa độ sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ (0,0) và trục đối xứng của parabol trùng với trục y. - Phương trình của parabol có dạng: \( y = ax^2 \). 2. Xác định các điểm đã biết: - Khoảng cách giữa hai chân cổng là 84 m, tức là hai chân cổng nằm ở hai điểm đối xứng qua trục y, mỗi bên cách trục y 42 m. - Điểm cách chân cổng 0,50 m có tọa độ là (42 + 0,50, 2,9344) hoặc (-42 - 0,50, 2,9344). Ta sẽ lấy điểm (42,5, 2,9344). 3. Thay tọa độ vào phương trình parabol để tìm \( a \): - Thay tọa độ (42,5, 2,9344) vào phương trình \( y = ax^2 \): \[ 2,9344 = a(42,5)^2 \] - Giải phương trình này để tìm \( a \): \[ a = \frac{2,9344}{(42,5)^2} = \frac{2,9344}{1806,25} \approx 0,001624 \] 4. Phương trình của parabol: - Vậy phương trình của parabol là: \[ y = 0,001624x^2 \] 5. Tìm chiều cao của cổng: - Chiều cao của cổng là giá trị của \( y \) khi \( x = 0 \) (đỉnh của parabol): \[ y = 0,001624 \times 0^2 = 0 \] - Chiều cao của cổng là giá trị của \( y \) khi \( x = 42 \) (điểm xa nhất từ trục y): \[ y = 0,001624 \times 42^2 = 0,001624 \times 1764 = 2,862 \] Vậy chiều cao của cổng parabol là 2,862 m.