Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 14. Trước tiên, ta cần hiểu rõ về hình chóp S.ABCD và các tính chất của nó. Đáy ABCD là hình thoi tâm O, nghĩa là O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời O cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. Ta xét từng khẳng định: A. \( CD \perp (SBD) \) Để \( CD \perp (SBD) \), thì \( CD \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBD). Tuy nhiên, do \( CD \) nằm trong mặt phẳng (ABCD) và không vuông góc với \( BD \) (vì \( BD \) là đường chéo của hình thoi), nên \( CD \) không thể vuông góc với mặt phẳng (SBD). Vậy khẳng định A sai. B. \( CD \perp AC \) Trong hình thoi, hai đường chéo luôn vuông góc với nhau. Vì vậy, \( CD \perp AC \) là đúng. Vậy khẳng định B đúng. C. \( AB \perp (SAC) \) Để \( AB \perp (SAC) \), thì \( AB \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC). Tuy nhiên, do \( AB \) nằm trong mặt phẳng (ABCD) và không vuông góc với \( AC \) (vì \( AC \) là đường chéo của hình thoi), nên \( AB \) không thể vuông góc với mặt phẳng (SAC). Vậy khẳng định C sai. D. \( SO \perp (ABCD) \) Do \( O \) là tâm của hình thoi ABCD, và \( SA = SC \), \( SB = SD \), ta suy ra \( SO \) là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Do đó, \( SO \perp (ABCD) \) là đúng. Vậy khẳng định D đúng. Tóm lại, các khẳng định đúng là: - B. \( CD \perp AC \) - D. \( SO \perp (ABCD) \) Đáp án: B và D. Câu 2. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, ta có: - SA ⊥ (ABCD) - Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC Bây giờ, ta xét các mặt phẳng đã cho: - Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A và C. - Mặt phẳng (SAC) bao gồm đường thẳng SA và AC. Ta biết rằng: - SA ⊥ (ABCD) suy ra SA ⊥ BD - AC ⊂ (ABCD) và BD ⊥ AC Từ hai điều trên, ta suy ra BD ⊥ (SAC) vì BD vuông góc với cả hai đường thẳng SA và AC nằm trong mặt phẳng (SAC). Vậy đáp án đúng là: D. (SAC) Đáp số: D. (SAC) Câu 15. Để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11, chúng ta sẽ tuân thủ các quy tắc đã nêu. Dưới đây là một ví dụ về cách áp dụng các quy tắc này trong quá trình giải bài toán. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Cách giải: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) là một hàm đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Vậy ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 2. Xét tính chất của hàm số: Hàm số \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) là một hàm bậc hai, có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = -4 \), và \( c = 3 \). Vì \( a > 0 \), nên đồ thị của hàm số là một parabol mở rộng lên trên. 3. Tìm đỉnh của parabol: Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). - Tính \( x \) tại đỉnh: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \] - Tính \( f(2) \): \[ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] Vậy đỉnh của parabol là \( (2, -1) \). 4. Kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Vì parabol mở rộng lên trên, giá trị nhỏ nhất của hàm số là giá trị tại đỉnh, tức là \( -1 \), đạt được khi \( x = 2 \). - Giá trị lớn nhất của hàm số không tồn tại vì parabol mở rộng lên đến vô cùng. Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( -1 \), đạt được khi \( x = 2 \). - Giá trị lớn nhất của hàm số không tồn tại. Câu 28. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp để xác định kết quả đúng. 1. Kiểm tra \( AB \perp (SAD) \): - Để \( AB \perp (SAD) \), thì \( AB \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAD). Tuy nhiên, do ABCD là hình thoi, \( AB \) không vuông góc với \( AD \) (trừ khi \( \angle BAD = 90^\circ \)), nên \( AB \) không thể vuông góc với cả \( SA \) và \( AD \) cùng lúc. Do đó, \( AB \not\perp (SAD) \). 2. Kiểm tra \( BD \perp (SAC) \): - Để \( BD \perp (SAC) \), thì \( BD \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC). Vì \( BD \) đi qua tâm O của hình thoi ABCD, và \( SA = SC \), ta có \( SO \perp AC \) (do tính chất đối xứng của hình thoi và tam giác cân). Tuy nhiên, \( BD \) không vuông góc với \( SA \) hoặc \( SC \) trừ khi \( S \) nằm trực tiếp trên trục vuông góc với đáy tại O. Do đó, \( BD \not\perp (SAC) \). 3. Kiểm tra \( SO \perp (ABCD) \): - Để \( SO \perp (ABCD) \), thì \( SO \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Vì \( SA = SC \) và O là tâm của hình thoi ABCD, ta có \( SO \perp AC \) (do tính chất đối xứng của hình thoi và tam giác cân). Hơn nữa, vì \( SO \) là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD, nó cũng vuông góc với \( BD \) (vì \( BD \) đi qua tâm O). Do đó, \( SO \perp (ABCD) \). 4. Kiểm tra \( AC \perp (SBD) \): - Để \( AC \perp (SBD) \), thì \( AC \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBD). Tuy nhiên, do \( AC \) nằm trong mặt phẳng (ABCD) và \( SBD \) là mặt phẳng chứa \( S \), \( B \), và \( D \), \( AC \) không vuông góc với \( SB \) hoặc \( SD \) trừ khi \( S \) nằm trực tiếp trên trục vuông góc với đáy tại O. Do đó, \( AC \not\perp (SBD) \). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng kết quả đúng là: \[ C.~SO\bot(ABCD). \] Đáp án: \( C.~SO\bot(ABCD). \) Câu 16. Trước tiên, ta xét các khẳng định một cách chi tiết: A. \(SA \perp BD\) Do \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\), mà \(BD\) nằm trong đáy \(ABCD\), nên \(SA \perp BD\). Khẳng định này đúng. B. \(SC \perp BD\) Ta có \(SA \perp BD\) và \(AC \perp BD\) (vì \(ABCD\) là hình thoi). Do đó, \(BD\) vuông góc với cả hai đường thẳng \(SA\) và \(AC\) nằm trong mặt phẳng \(SAC\). Theo tính chất của đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong cùng một mặt phẳng thì \(BD\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(SAC\). Vì vậy, \(SC \perp BD\). Khẳng định này đúng. C. \(SO \perp BD\) \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD\), do đó \(O\) là giao điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\). Ta đã biết \(SA \perp BD\) và \(AC \perp BD\). Mặt khác, \(SO\) nằm trong mặt phẳng \(SAC\) và \(BD\) vuông góc với cả hai đường thẳng \(SA\) và \(AC\) nằm trong mặt phẳng \(SAC\). Do đó, \(SO \perp BD\). Khẳng định này đúng. D. \(SG \perp AD\) \(G\) là điểm bất kỳ trên cạnh \(SD\). Để \(SG \perp AD\), \(SG\) phải vuông góc với cả hai đường thẳng \(AD\) và \(SA\) nằm trong mặt phẳng \(SAD\). Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy \(SG\) vuông góc với \(AD\). Do đó, không thể khẳng định \(SG \perp AD\). Khẳng định này sai. Vậy khẳng định sai là: \[ D. SG \perp AD \] Đáp án: D. \(SG \perp AD\). Câu 29: Để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11, chúng ta sẽ tuân thủ các quy tắc đã nêu. Dưới đây là một ví dụ về cách áp dụng các quy tắc này trong quá trình giải một bài toán. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Cách giải: 1. Xác định miền xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Vậy ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có hệ số \( a = -1 < 0 \), nên đồ thị của nó là một parabol mở xuống. Giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Với \( a = -1 \) và \( b = 4 \): \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] 3. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 17. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy (ABCD). Do SA vuông góc với đáy (ABCD), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), bao gồm cả SB. Ta đã biết rằng AM vuông góc với SB. Để xác định khẳng định đúng, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. \(AM \perp (SBD)\): - Để \(AM \perp (SBD)\), thì \(AM\) phải vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng (SBD). Ta thấy \(AM \perp SB\), nhưng chưa chắc chắn \(AM \perp SD\) hoặc \(AM \perp BD\). Do đó, không thể kết luận ngay lập tức. B. \(AM \perp (SAD)\): - Để \(AM \perp (SAD)\), thì \(AM\) phải vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng (SAD). Ta thấy \(AM \perp SA\) (vì SA vuông góc với đáy) và \(AM \perp AD\) (vì AM nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với SB). Do đó, \(AM \perp (SAD)\) là đúng. C. \(AM \perp (SBC)\): - Để \(AM \perp (SBC)\), thì \(AM\) phải vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng (SBC). Ta thấy \(AM \perp SB\), nhưng chưa chắc chắn \(AM \perp SC\) hoặc \(AM \perp BC\). Do đó, không thể kết luận ngay lập tức. D. \(SB \perp (MAC)\): - Để \(SB \perp (MAC)\), thì \(SB\) phải vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng (MAC). Ta thấy \(SB \perp AM\), nhưng chưa chắc chắn \(SB \perp AC\) hoặc \(SB \perp MC\). Do đó, không thể kết luận ngay lập tức. Qua các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định đúng là: \[ B.~AM \perp (SAD). \] Đáp án: B. \(AM \perp (SAD)\). Câu 22. Trước tiên, ta xét các mệnh đề một cách chi tiết để xác định mệnh đề nào là sai. 1. Mệnh đề A: \(AK \perp SC\) - Vì \(K\) là trung điểm của \(SC\), nên \(AK\) là đường trung tuyến của tam giác \(ASC\). Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy \(AK\) vuông góc với \(SC\). Do đó, ta chưa thể kết luận rằng \(AK \perp SC\). 2. Mệnh đề B: \(BH \perp (SAC)\) - \(H\) là trung điểm của \(AC\), do đó \(BH\) là đường cao hạ từ đỉnh \(B\) xuống đáy \(AC\) của tam giác cân \(ABC\). Vì \(SA \perp (ABC)\), suy ra \(SA \perp BH\). Mặt khác, \(BH \perp AC\) (do \(ABC\) là tam giác cân ở \(B\)). Vậy \(BH\) vuông góc với cả hai giao tuyến \(SA\) và \(AC\) của mặt phẳng \((SAC)\), suy ra \(BH \perp (SAC)\). 3. Mệnh đề C: \(BH \perp AK\) - Ta đã biết \(BH \perp (SAC)\), do đó \(BH \perp AK\) vì \(AK\) nằm trong mặt phẳng \((SAC)\). 4. Mệnh đề D: \(BH \perp SA\) - Vì \(SA \perp (ABC)\) và \(BH\) nằm trong mặt phẳng \((ABC)\), suy ra \(BH \perp SA\). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng tất cả các mệnh đề B, C và D đều đúng. Chỉ có mệnh đề A chưa có cơ sở để kết luận là đúng. Do đó, mệnh đề sai là: \[ \boxed{A} \] Câu 18. Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đã đưa ra để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11. Dưới đây là ví dụ về cách áp dụng các quy tắc này trong quá trình giải bài toán. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 2x - 4 \] 2. Tìm điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở hai bên điểm cực trị: - Khi \( x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm) - Khi \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng) Vậy \( x = 2 \) là điểm cực tiểu của hàm số. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu: \[ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] 5. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} (x^2 - 4x + 3) = +\infty \] Do đó, hàm số không có giá trị lớn nhất. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-1\), đạt được khi \( x = 2 \). - Hàm số không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2: Giải phương trình chứa căn thức Bài toán: Giải phương trình \( \sqrt{x+3} = x - 1 \). Giải: 1. Xác định điều kiện xác định: \[ x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3 \] \[ x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1 \] Vậy điều kiện xác định là \( x \geq 1 \). 2. Giải phương trình: \[ \sqrt{x+3} = x - 1 \] Đặt \( y = \sqrt{x+3} \), ta có: \[ y = x - 1 \] Suy ra: \[ y^2 = x + 3 \] Thay \( y = x - 1 \) vào: \[ (x - 1)^2 = x + 3 \] \[ x^2 - 2x + 1 = x + 3 \] \[ x^2 - 3x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \geq 1 \) (thỏa mãn) - \( x = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} < 1 \) (không thỏa mãn) Kết luận: - Nghiệm của phương trình là \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \). Ví dụ 3: Giải hệ phương trình Bài toán: Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \] Giải: 1. Xét phương trình bậc hai: \[ t^2 - (x+y)t + xy = 0 \] Thay \( x + y = 5 \) và \( xy = 6 \): \[ t^2 - 5t + 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ t = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = 2 \] 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình: - Nếu \( x = 3 \), thì \( y = 2 \) - Nếu \( x = 2 \), thì \( y = 3 \) Kết luận: - Nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (3, 2) \) hoặc \( (x, y) = (2, 3) \). Kết luận Trên đây là các ví dụ minh họa cách áp dụng các quy tắc đã đưa ra để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11. Câu 22: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. 1. Mệnh đề A: \( SA \bot BC \) Vì \( SA \bot (ABC) \), nên \( SA \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \). Do đó, \( SA \bot BC \). 2. Mệnh đề B: \( AH \bot BC \) \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( SB \) trong tam giác \( ASB \). Vì \( SA \bot (ABC) \), nên \( SA \bot AB \) và \( SA \bot BC \). Mặt khác, \( H \) là giao điểm của \( AH \) và \( SB \), do đó \( AH \bot SB \). Vì \( BC \) nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \) và \( AH \) vuông góc với \( SB \), nên \( AH \bot BC \). 3. Mệnh đề C: \( AH \bot AC \) \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( SB \) trong tam giác \( ASB \). Vì \( AH \bot SB \), nhưng \( AC \) không nằm trong cùng một mặt phẳng với \( SB \) và \( AH \), nên không thể kết luận rằng \( AH \bot AC \). Thực tế, \( AH \) không vuông góc với \( AC \). 4. Mệnh đề D: \( AH \bot SC \) \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( SB \) trong tam giác \( ASB \). Vì \( SA \bot (ABC) \), nên \( SA \bot SC \). Mặt khác, \( H \) là giao điểm của \( AH \) và \( SB \), do đó \( AH \bot SB \). Vì \( SC \) nằm trong cùng một mặt phẳng với \( SB \) và \( AH \), nên \( AH \bot SC \). Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề C là sai vì \( AH \) không vuông góc với \( AC \). Đáp án: C. \( AH \bot AC \)