HịiisjsjsA

Câu 10. Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số \(\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{4}\), ta cần tìm vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình này. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{4} \] Từ đây, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có các thành phần là \(3\), \(-2\), và \(4\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u} = (3, -2, 4) \] Bây giờ, ta kiểm tra các lựa chọn đã cho để xác định vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): A. \(\overrightarrow{u}_1 = (-1, 2, -1)\) B. \(\overrightarrow{u}_2 = (1, -2, 1)\) C. \(\overrightarrow{u}_3 = (-3, 2, -4)\) D. \(\overrightarrow{u}_4 = (3, -2, 4)\) Trong các lựa chọn trên, chỉ có vectơ \(\overrightarrow{u}_4 = (3, -2, 4)\) có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình tham số của đường thẳng \(d\). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D. \overrightarrow{u}_4 = (3, -2, 4)} \] Câu 11. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (2; -3; 1)$, ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] trong đó $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$, và $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$. Áp dụng vào bài toán: - Điểm $M$ có tọa độ $(2, 0, -1)$. - Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (2, -3, 1)$. Thay vào công thức, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = 0 - 3t \\ z = -1 + t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = -3t \\ z = -1 + t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: D. $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = -3t \\ z = -1 + t \end{array} \right.$ Câu 12. Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Kiểm tra xem hai đường thẳng có chung điểm nào không: - Đường thẳng \(d_1\) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = -2 - 2t \end{cases} \] - Đường thẳng \(d_2\) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = -2 - 2s \\ y = 1 - s \\ z = 2s \end{cases} \] Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(M(x, y, z)\). Ta có: \[ \begin{cases} 1 + 2t = -2 - 2s \\ t = 1 - s \\ -2 - 2t = 2s \end{cases} \] Thay \(t = 1 - s\) vào phương trình đầu tiên: \[ 1 + 2(1 - s) = -2 - 2s \implies 1 + 2 - 2s = -2 - 2s \implies 3 = -2 \text{ (loại)} \] Vì phương trình này vô lý, nên hai đường thẳng không cắt nhau. 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không: - Vector chỉ phương của \(d_1\) là \(\vec{u}_1 = (2, 1, -2)\). - Vector chỉ phương của \(d_2\) là \(\vec{u}_2 = (-2, -1, 2)\). Ta thấy rằng \(\vec{u}_2 = -\vec{u}_1\), tức là hai vector chỉ phương là đối nhau. Do đó, hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. 3. Kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau không: - Để hai đường thẳng trùng nhau, thì một điểm thuộc \(d_1\) phải thuộc \(d_2\). Ta thử điểm \(A(1, 0, -2)\) trên \(d_1\): \[ \begin{cases} 1 = -2 - 2s \\ 0 = 1 - s \\ -2 = 2s \end{cases} \] Giải phương trình thứ hai: \[ 0 = 1 - s \implies s = 1 \] Thay \(s = 1\) vào phương trình đầu tiên: \[ 1 = -2 - 2(1) \implies 1 = -4 \text{ (loại)} \] Vì phương trình này vô lý, nên điểm \(A\) không thuộc \(d_2\). Do đó, hai đường thẳng không trùng nhau. Từ các bước trên, ta kết luận rằng hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song. Đáp án: C. Song song. Câu 13. Để xác định vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{array} \right. \] Chúng ta cần tìm vector chỉ phương của đường thẳng này. Vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) có dạng \((a, b, c)\), trong đó \(a\), \(b\), và \(c\) là các hệ số của tham số \(t\) tương ứng với các biến \(x\), \(y\), và \(z\). Từ phương trình tham số của đường thẳng \(d\): - Hệ số của \(t\) trong phương trình \(x = 2 + t\) là 1. - Hệ số của \(t\) trong phương trình \(y = 1 - 2t\) là -2. - Hệ số của \(t\) trong phương trình \(z = -1 + 3t\) là 3. Do đó, vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((1, -2, 3)\). So sánh với các lựa chọn đã cho: A. \(\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -1)\) B. \(\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)\) C. \(\overrightarrow{u_2} = (1, 2, 3)\) D. \(\overrightarrow{u_4} = (2, 1, 1)\) Chúng ta thấy rằng \(\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)\) chính là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\). Vậy đáp án đúng là: B. \(\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)\). Câu 14. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(2;-3;1)$, ta làm như sau: Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] trong đó $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$, và $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ chỉ phương $\overrightarrow a$. Thay tọa độ của điểm $M(2;0;-1)$ và các thành phần của vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(2;-3;1)$ vào phương trình trên, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = 0 - 3t \\ z = -1 + t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = -3t \\ z = -1 + t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: D. $\left\{\begin{array}{l}x = 2 + 2t \\ y = -3t \\ z = -1 + t \end{array}\right.$ Câu 15. a) Tính $\int f(x)dx$: \[ \int f(x)dx = \int (3x^2 - 2) dx = \int 3x^2 dx - \int 2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C = x^3 - 2x + C \] b) Tính $\int g(x)dx$: \[ \int g(x)dx = \int (x + 2) dx = \int x dx + \int 2 dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C \] c) Tính $\int 3f(x)dx$: \[ \int 3f(x)dx = \int 3(3x^2 - 2) dx = 3 \int (3x^2 - 2) dx = 3 \left( x^3 - 2x \right) + C = 3x^3 - 6x + C \] d) Tính $\int [f(x) - 2g(x)]dx$: \[ \int [f(x) - 2g(x)]dx = \int [(3x^2 - 2) - 2(x + 2)] dx = \int (3x^2 - 2 - 2x - 4) dx = \int (3x^2 - 2x - 6) dx \] \[ = \int 3x^2 dx - \int 2x dx - \int 6 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 6x + C = x^3 - x^2 - 6x + C \] Đáp số: a) $\int f(x)dx = x^3 - 2x + C$ b) $\int g(x)dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C$ c) $\int 3f(x)dx = 3x^3 - 6x + C$ d) $\int [f(x) - 2g(x)]dx = x^3 - x^2 - 6x + C$ Câu 16. a) Tính $\int f(x)dx$: \[ \int f(x)dx = \int (x^2 - 1) dx = \int x^2 dx - \int 1 dx = \frac{x^3}{3} - x + C \] b) Tính $\int g(x)dx$: \[ \int g(x)dx = \int (2x - 3) dx = \int 2x dx - \int 3 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = x^2 - 3x + C \] c) Tính $\int 2f(x)dx$: \[ \int 2f(x)dx = \int 2(x^2 - 1) dx = 2 \int (x^2 - 1) dx = 2 \left( \frac{x^3}{3} - x \right) + C = \frac{2x^3}{3} - 2x + C \] d) Tính $\int [3f(x) - g(x)]dx$: \[ \int [3f(x) - g(x)]dx = \int [3(x^2 - 1) - (2x - 3)] dx = \int (3x^2 - 3 - 2x + 3) dx = \int (3x^2 - 2x) dx \] \[ = 3 \int x^2 dx - 2 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - x^2 + C \] Đáp số: a) $\frac{x^3}{3} - x + C$ b) $x^2 - 3x + C$ c) $\frac{2x^3}{3} - 2x + C$ d) $x^3 - x^2 + C$ Câu 17. a) Ta có: \[ \int^3_1 [f(x) + g(x)] \, dx = \int^3_1 f(x) \, dx + \int^3_1 g(x) \, dx = 5 + (-9) = -4 \] b) Ta có: \[ \int^3_1 [f(x) - g(x)] \, dx = \int^3_1 f(x) \, dx - \int^3_1 g(x) \, dx = 5 - (-9) = 5 + 9 = 14 \] c) Ta có: \[ \int^1_3 f(x) \, dx = -\int^3_1 f(x) \, dx = -5 \] d) Ta có: \[ \int^3_1 [2f(x) + 3g(x)] \, dx = 2 \int^3_1 f(x) \, dx + 3 \int^3_1 g(x) \, dx = 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-9) = 10 - 27 = -17 \] Đáp số: a) \(-4\) b) \(14\) c) \(-5\) d) \(-17\) Câu 18. a) Ta có: \[ \int^0_{-3}[f(x) + g(x)] \, dx = \int^0_{-3} f(x) \, dx + \int^0_{-3} g(x) \, dx = -4 + (-3) = -7 \] b) Ta có: \[ \int^0_{-3}[f(x) - g(x)] \, dx = \int^0_{-3} f(x) \, dx - \int^0_{-3} g(x) \, dx = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1 \] c) Ta có: \[ \int^0_{-3} -3f(x) \, dx = -3 \int^0_{-3} f(x) \, dx = -3 \times (-4) = 12 \] d) Ta có: \[ \int^0_{-3}[2f(x) + 3g(x)] \, dx = 2 \int^0_{-3} f(x) \, dx + 3 \int^0_{-3} g(x) \, dx = 2 \times (-4) + 3 \times (-3) = -8 - 9 = -17 \] Đáp số: a) \(-7\) b) \(-1\) c) \(12\) d) \(-17\)