HịiisjsjsA Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\frac{x-1}3=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}4.$ .Vecctơ nào dưới,đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d ?,$A.~\overrightarrow u_1=(-1;2;-1)$ $B.~\overrightarrow u_2=(1;-2;1)$ $C.~\overrightarrow u_3=(-3;2;-4)$ $D.~\overrightarrow u_4=(3;2;4)$,Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có một vectơ,chỉ phương $\overrightarrow a=(2;-3;1).$ .Phương trình tham số của $\Delta$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=-6\z=2+t\end{array} ight..$ $B.\left\{\begin{array}lx=-2+4t\y=6t\z=1+2t\end{array} ight..$ $C.\left\{\begin{array}lx=-2+2t\y=3t\z=1+t\end{array} ight..$ $D.\left\{\begin{array}lx=2+2t\y=-3t\z=-1+t\end{array} ight..$,Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}2=\frac y1=\frac{z+2}{-2},$,$d_2:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac z2.$ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.,A. Chéo nhau. B. Trùng nhau. C. Song song. D. Cắt,nhau.,Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=2+t\y=1-2t\z=-1+3t\end{array} ight.$ .Vecctơ nào dưới đây là,một véctơ chỉ phương của đường thẳng d ?,$A.~\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1).$ $B.~\overrightarrow{u_3}=(1;-2;3).$ $C.~\overrightarrow{u_2}=(1;2;3).$ $D.~\overrightarrow{u_4}=(2;1;1).$,Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có một vectơ,chỉ phương $\overrightarrow a=(2;-3;1)$ .Phương trình tham số của $\Delta$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=-6\z=2+t\end{array} ight..$ $B.\left\{\begin{array}lx=-2+4t\y=6t\z=1+2t\end{array} ight..$ $C.\left\{\begin{array}lx=-2+2t\y=3t\z=1+t\end{array} ight..$ $D.\left\{\begin{array}lx=2+2t\y=-3t\z=-1+t\end{array} ight..$,Câu 15. Cho hai hàm số $f(x)=3x^2-2$ và $g(x)=x+2$ .Tính,$a)~\int f(x)dx.$ $b)~\int g(x)dx.$ $c)~\int3f(x)dx.$ $d)~\int[f(x)-2g(x)]dx$,Câu 16. Cho hai hàm số $f(x)=x^2-1$ và $g(x)=2x-3$ .Tính,$a)~\int f(x)dx.$ $b)~\int g(x)dx.$ $c)~\int2f(x)dx.$ $d)~\int[3f(x)-g(x)]dx$,Câu 17. Cho $\int^3_1f(x)dx=5$ và $\int^3_1g(x)dx=-9.$ Tính,$a)~\int^3_1[f(x)+g(x)]dx$ $b)~\int^3_1[f(x)-g(x)]dx$ $c)~\int^1_3f(x)dx$ $d)~\int^3_1[2f(x)+3g(x)]dx$,Câu 18. Cho $\int^0_{-3}f(x)dx=-4$ và $\int^0_{-3}g(x)dx=-3$,$a)~\int^0_{-3}[f(x)+g(x)]dx~~b)~\int^0_{-3}[f(x)-g(x)]dx$ $c)~\int^0_{-3}-3f(x)dx$ $d)~\int^0_{-3}[2f(x)+3g(x)]dx$

Question

HịiisjsjsA Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\frac{x-1}3=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}4.$ .Vecctơ nào dưới,đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d ?,$A.~\overrightarrow u_1=(-1;2;-1)$ $B.~\overrightarrow u_2=(1;-2;1)$ $C.~\overrightarrow u_3=(-3;2;-4)$ $D.~\overrightarrow u_4=(3;2;4)$,Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có một vectơ,chỉ phương $\overrightarrow a=(2;-3;1).$ .Phương trình tham số của $\Delta$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=-6\z=2+t\end{array}ight..$ $B.\left\{\begin{array}lx=-2+4t\y=6t\z=1+2t\end{array}ight..$ $C.\left\{\begin{array}lx=-2+2t\y=3t\z=1+t\end{array}ight..$ $D.\left\{\begin{array}lx=2+2t\y=-3t\z=-1+t\end{array}ight..$,Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}2=\frac y1=\frac{z+2}{-2},$,$d_2:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac z2.$ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.,A. Chéo nhau. B. Trùng nhau. C. Song song. D. Cắt,nhau.,Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}lx=2+t\y=1-2t\z=-1+3t\end{array}ight.$ .Vecctơ nào dưới đây là,một véctơ chỉ phương của đường thẳng d ?,$A.~\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1).$ $B.~\overrightarrow{u_3}=(1;-2;3).$ $C.~\overrightarrow{u_2}=(1;2;3).$ $D.~\overrightarrow{u_4}=(2;1;1).$,Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có một vectơ,chỉ phương $\overrightarrow a=(2;-3;1)$ .Phương trình tham số của $\Delta$ là,$A.\left\{\begin{array}lx=4+2t\y=-6\z=2+t\end{array}ight..$ $B.\left\{\begin{array}lx=-2+4t\y=6t\z=1+2t\end{array}ight..$ $C.\left\{\begin{array}lx=-2+2t\y=3t\z=1+t\end{array}ight..$ $D.\left\{\begin{array}lx=2+2t\y=-3t\z=-1+t\end{array}ight..$,Câu 15. Cho hai hàm số $f(x)=3x^2-2$ và $g(x)=x+2$ .Tính,$a)~\int f(x)dx.$ $b)~\int g(x)dx.$ $c)~\int3f(x)dx.$ $d)~\int[f(x)-2g(x)]dx$,Câu 16. Cho hai hàm số $f(x)=x^2-1$ và $g(x)=2x-3$ .Tính,$a)~\int f(x)dx.$ $b)~\int g(x)dx.$ $c)~\int2f(x)dx.$ $d)~\int[3f(x)-g(x)]dx$,Câu 17. Cho $\int^3_1f(x)dx=5$ và $\int^3_1g(x)dx=-9.$ Tính,$a)~\int^3_1[f(x)+g(x)]dx$ $b)~\int^3_1[f(x)-g(x)]dx$ $c)~\int^1_3f(x)dx$ $d)~\int^3_1[2f(x)+3g(x)]dx$,Câu 18. Cho $\int^0_{-3}f(x)dx=-4$ và $\int^0_{-3}g(x)dx=-3$,$a)~\int^0_{-3}[f(x)+g(x)]dx~~b)~\int^0_{-3}[f(x)-g(x)]dx$ $c)~\int^0_{-3}-3f(x)dx$ $d)~\int^0_{-3}[2f(x)+3g(x)]dx$

Accepted Answer

Câu 10.
Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ được cho bởi phương trình tham số $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{4}$, ta cần tìm vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình này.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ có dạng:
$$ \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{4} $$

Từ đây, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ sẽ có các thành phần là $3$, $-2$, và $4$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là:
$$ \overrightarrow{u} = (3, -2, 4) $$

Bây giờ, ta kiểm tra các lựa chọn đã cho để xác định vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:

A. $\overrightarrow{u}_1 = (-1, 2, -1)$
B. $\overrightarrow{u}_2 = (1, -2, 1)$
C. $\overrightarrow{u}_3 = (-3, 2, -4)$
D. $\overrightarrow{u}_4 = (3, -2, 4)$

Trong các lựa chọn trên, chỉ có vectơ $\overrightarrow{u}_4 = (3, -2, 4)$ có các thành phần tương ứng với các hệ số ở mẫu số của phương trình tham số của đường thẳng $d$.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ \boxed{D. \overrightarrow{u}_4 = (3, -2, 4)} $$

Câu 11.
Để tìm phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (2; -3; 1)$, ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian.

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ có dạng:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = x_0 + at \
y = y_0 + bt \
z = z_0 + ct
\end{array}
\right.
$$
trong đó $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$, và $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$.

Áp dụng vào bài toán:
- Điểm $M$ có tọa độ $(2, 0, -1)$.
- Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (2, -3, 1)$.

Thay vào công thức, ta có:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + 2t \
y = 0 - 3t \
z = -1 + t
\end{array}
\right.
$$

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + 2t \
y = -3t \
z = -1 + t
\end{array}
\right.
$$

Vậy đáp án đúng là:
D. $\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + 2t \
y = -3t \
z = -1 + t
\end{array}
\right.$

Câu 12.
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ta cần kiểm tra các điều kiện sau:

1. Kiểm tra xem hai đường thẳng có chung điểm nào không:
   - Đường thẳng $d_1$ có phương trình tham số: 
     $$
     \begin{cases}
     x = 1 + 2t \
     y = t \
     z = -2 - 2t
     \end{cases}
     $$
   - Đường thẳng $d_2$ có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = -2 - 2s \
     y = 1 - s \
     z = 2s
     \end{cases}
     $$

Giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $M(x, y, z)$. Ta có:
   $$
   \begin{cases}
   1 + 2t = -2 - 2s \
   t = 1 - s \
   -2 - 2t = 2s
   \end{cases}
   $$

Thay $t = 1 - s$ vào phương trình đầu tiên:
   $$
   1 + 2(1 - s) = -2 - 2s \implies 1 + 2 - 2s = -2 - 2s \implies 3 = -2 \text{ (loại)}
   $$

Vì phương trình này vô lý, nên hai đường thẳng không cắt nhau.

2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không:
   - Vector chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u}_1 = (2, 1, -2)$.
   - Vector chỉ phương của $d_2$ là $\vec{u}_2 = (-2, -1, 2)$.

Ta thấy rằng $\vec{u}_2 = -\vec{u}_1$, tức là hai vector chỉ phương là đối nhau. Do đó, hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

3. Kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau không:
   - Để hai đường thẳng trùng nhau, thì một điểm thuộc $d_1$ phải thuộc $d_2$. Ta thử điểm $A(1, 0, -2)$ trên $d_1$:
     $$
     \begin{cases}
     1 = -2 - 2s \
     0 = 1 - s \
     -2 = 2s
     \end{cases}
     $$

Giải phương trình thứ hai:
     $$
     0 = 1 - s \implies s = 1
     $$

Thay $s = 1$ vào phương trình đầu tiên:
     $$
     1 = -2 - 2(1) \implies 1 = -4 \text{ (loại)}
     $$

Vì phương trình này vô lý, nên điểm $A$ không thuộc $d_2$. Do đó, hai đường thẳng không trùng nhau.

Từ các bước trên, ta kết luận rằng hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song.

Đáp án: C. Song song.

Câu 13.
Để xác định vector chỉ phương của đường thẳng $d$ được cho bởi phương trình tham số:
$$ d: \left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + t \
y = 1 - 2t \
z = -1 + 3t
\end{array}
\right. $$

Chúng ta cần tìm vector chỉ phương của đường thẳng này. Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ có dạng $(a, b, c)$, trong đó $a$, $b$, và $c$ là các hệ số của tham số $t$ tương ứng với các biến $x$, $y$, và $z$.

Từ phương trình tham số của đường thẳng $d$:
- Hệ số của $t$ trong phương trình $x = 2 + t$ là 1.
- Hệ số của $t$ trong phương trình $y = 1 - 2t$ là -2.
- Hệ số của $t$ trong phương trình $z = -1 + 3t$ là 3.

Do đó, vector chỉ phương của đường thẳng $d$ là $(1, -2, 3)$.

So sánh với các lựa chọn đã cho:
A. $\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -1)$
B. $\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)$
C. $\overrightarrow{u_2} = (1, 2, 3)$
D. $\overrightarrow{u_4} = (2, 1, 1)$

Chúng ta thấy rằng $\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)$ chính là vector chỉ phương của đường thẳng $d$.

Vậy đáp án đúng là:
B. $\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)$.

Câu 14.
Để tìm phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(2;-3;1)$, ta làm như sau:

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ có dạng:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = x_0 + at \
y = y_0 + bt \
z = z_0 + ct
\end{array}
\right.
$$
trong đó $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$, và $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ chỉ phương $\overrightarrow a$.

Thay tọa độ của điểm $M(2;0;-1)$ và các thành phần của vectơ chỉ phương $\overrightarrow a=(2;-3;1)$ vào phương trình trên, ta được:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + 2t \
y = 0 - 3t \
z = -1 + t
\end{array}
\right.
$$

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + 2t \
y = -3t \
z = -1 + t
\end{array}
\right.
$$

Vậy đáp án đúng là:
D. $\left\{\begin{array}{l}x = 2 + 2t \ y = -3t \ z = -1 + t \end{array}\right.$

Câu 15.
a) Tính $\int f(x)dx$:
$$
\int f(x)dx = \int (3x^2 - 2) dx = \int 3x^2 dx - \int 2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C = x^3 - 2x + C
$$

b) Tính $\int g(x)dx$:
$$
\int g(x)dx = \int (x + 2) dx = \int x dx + \int 2 dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C
$$

c) Tính $\int 3f(x)dx$:
$$
\int 3f(x)dx = \int 3(3x^2 - 2) dx = 3 \int (3x^2 - 2) dx = 3 \left( x^3 - 2x \right) + C = 3x^3 - 6x + C
$$

d) Tính $\int [f(x) - 2g(x)]dx$:
$$
\int [f(x) - 2g(x)]dx = \int [(3x^2 - 2) - 2(x + 2)] dx = \int (3x^2 - 2 - 2x - 4) dx = \int (3x^2 - 2x - 6) dx
$$
$$
= \int 3x^2 dx - \int 2x dx - \int 6 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 6x + C = x^3 - x^2 - 6x + C
$$

Đáp số:
a) $\int f(x)dx = x^3 - 2x + C$
b) $\int g(x)dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C$
c) $\int 3f(x)dx = 3x^3 - 6x + C$
d) $\int [f(x) - 2g(x)]dx = x^3 - x^2 - 6x + C$

Câu 16.
a) Tính $\int f(x)dx$:
$$
\int f(x)dx = \int (x^2 - 1) dx = \int x^2 dx - \int 1 dx = \frac{x^3}{3} - x + C
$$

b) Tính $\int g(x)dx$:
$$
\int g(x)dx = \int (2x - 3) dx = \int 2x dx - \int 3 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = x^2 - 3x + C
$$

c) Tính $\int 2f(x)dx$:
$$
\int 2f(x)dx = \int 2(x^2 - 1) dx = 2 \int (x^2 - 1) dx = 2 \left( \frac{x^3}{3} - x \right) + C = \frac{2x^3}{3} - 2x + C
$$

d) Tính $\int [3f(x) - g(x)]dx$:
$$
\int [3f(x) - g(x)]dx = \int [3(x^2 - 1) - (2x - 3)] dx = \int (3x^2 - 3 - 2x + 3) dx = \int (3x^2 - 2x) dx
$$
$$
= 3 \int x^2 dx - 2 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - x^2 + C
$$

Đáp số:
a) $\frac{x^3}{3} - x + C$
b) $x^2 - 3x + C$
c) $\frac{2x^3}{3} - 2x + C$
d) $x^3 - x^2 + C$

Câu 17.
a) Ta có:
$$
\int^3_1 [f(x) + g(x)] \, dx = \int^3_1 f(x) \, dx + \int^3_1 g(x) \, dx = 5 + (-9) = -4
$$

b) Ta có:
$$
\int^3_1 [f(x) - g(x)] \, dx = \int^3_1 f(x) \, dx - \int^3_1 g(x) \, dx = 5 - (-9) = 5 + 9 = 14
$$

c) Ta có:
$$
\int^1_3 f(x) \, dx = -\int^3_1 f(x) \, dx = -5
$$

d) Ta có:
$$
\int^3_1 [2f(x) + 3g(x)] \, dx = 2 \int^3_1 f(x) \, dx + 3 \int^3_1 g(x) \, dx = 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-9) = 10 - 27 = -17
$$

Đáp số:
a) $-4$
b) $14$
c) $-5$
d) $-17$

Câu 18.
a) Ta có:
$$
\int^0_{-3}[f(x) + g(x)] \, dx = \int^0_{-3} f(x) \, dx + \int^0_{-3} g(x) \, dx = -4 + (-3) = -7
$$

b) Ta có:
$$
\int^0_{-3}[f(x) - g(x)] \, dx = \int^0_{-3} f(x) \, dx - \int^0_{-3} g(x) \, dx = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1
$$

c) Ta có:
$$
\int^0_{-3} -3f(x) \, dx = -3 \int^0_{-3} f(x) \, dx = -3 \times (-4) = 12
$$

d) Ta có:
$$
\int^0_{-3}[2f(x) + 3g(x)] \, dx = 2 \int^0_{-3} f(x) \, dx + 3 \int^0_{-3} g(x) \, dx = 2 \times (-4) + 3 \times (-3) = -8 - 9 = -17
$$

Đáp số:
a) $-7$
b) $-1$
c) $12$
d) $-17$