Toán lớp 10

Câu 18. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ điểm B từ tọa độ điểm A. Tọa độ của điểm A là $(2, -3)$. Tọa độ của điểm B là $(3, 2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 2, 2 - (-3)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 2 + 3) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 5) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 5)$. Đáp án đúng là: B. $(1, 5)$. Câu 19. Để tính số tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta cần sử dụng công thức tổ hợp. Công thức tổ hợp chập k của n phần tử được viết dưới dạng: \[ C^k_n = \frac{n!}{(n-k)!k!} \] Trong đó: - \( n! \) là giai thừa của n, tức là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n. - \( (n-k)! \) là giai thừa của \( n-k \). - \( k! \) là giai thừa của k. Do đó, đáp án đúng là: C. \( C^k_n = \frac{n!}{(n-k)!k!} \) Lý do: - Chúng ta cần chọn k phần tử từ n phần tử, và thứ tự của các phần tử không quan trọng. - Số tổ hợp chập k của n phần tử được tính bằng cách chia tổng số cách sắp xếp n phần tử cho số cách sắp xếp của k phần tử và số cách sắp xếp của \( n-k \) phần tử còn lại. Vậy đáp án đúng là: C. \( C^k_n = \frac{n!}{(n-k)!k!} \) Câu 20. Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \): \[ I \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Trong đó: - \( A(1, 3) \) - \( B(5, -3) \) Áp dụng công thức trên: \[ I \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + (-3)}{2} \right) \] Tính toán từng thành phần: \[ I \left( \frac{6}{2}, \frac{0}{2} \right) \] \[ I (3, 0) \] Vậy tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) là \( I(3, 0) \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( I(3, 0) \). Câu 21. Để kiểm tra xem đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm đã cho, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ sao cho phương trình đúng hay không. A. Điểm $N(1;2)$: Thay $x = 1$ và $y = 2$ vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 = 1 + 3t \\ 2 = 5 - 4t \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ 1 = 1 + 3t \implies 3t = 0 \implies t = 0 \] Thay $t = 0$ vào phương trình thứ hai: \[ 2 = 5 - 4(0) \implies 2 = 5 \] Phương trình này sai, do đó điểm $N(1;2)$ không thuộc đường thẳng $d$. B. Điểm $Q(-2;2)$: Thay $x = -2$ và $y = 2$ vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} -2 = 1 + 3t \\ 2 = 5 - 4t \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ -2 = 1 + 3t \implies 3t = -3 \implies t = -1 \] Thay $t = -1$ vào phương trình thứ hai: \[ 2 = 5 - 4(-1) \implies 2 = 5 + 4 \implies 2 = 9 \] Phương trình này sai, do đó điểm $Q(-2;2)$ không thuộc đường thẳng $d$. C. Điểm $M(1;5)$: Thay $x = 1$ và $y = 5$ vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 = 1 + 3t \\ 5 = 5 - 4t \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ 1 = 1 + 3t \implies 3t = 0 \implies t = 0 \] Thay $t = 0$ vào phương trình thứ hai: \[ 5 = 5 - 4(0) \implies 5 = 5 \] Phương trình này đúng, do đó điểm $M(1;5)$ thuộc đường thẳng $d$. D. Điểm $P(5;4)$: Thay $x = 5$ và $y = 4$ vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 5 = 1 + 3t \\ 4 = 5 - 4t \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ 5 = 1 + 3t \implies 3t = 4 \implies t = \frac{4}{3} \] Thay $t = \frac{4}{3}$ vào phương trình thứ hai: \[ 4 = 5 - 4\left(\frac{4}{3}\right) \implies 4 = 5 - \frac{16}{3} \implies 4 = \frac{15}{3} - \frac{16}{3} \implies 4 = -\frac{1}{3} \] Phương trình này sai, do đó điểm $P(5;4)$ không thuộc đường thẳng $d$. Kết luận: Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;5)$. Đáp án: C. $M(1;5)$. Câu 22. Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a; b)$ là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: A. $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$. Lập luận từng bước: 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a; b)$ được viết dưới dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] 2. Ta thấy rằng phương trình này đúng với điều kiện vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a; b)$ và vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với nhau. 3. Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a; b)$ là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] Vậy đáp án đúng là: A. $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$.