Giúp mình với

Câu 1: Để đi từ A đến C qua B, ta phải chọn một con đường từ A đến B và một con đường từ B đến C. Số cách chọn con đường từ A đến B là 6 cách. Số cách chọn con đường từ B đến C là 3 cách. Vậy số cách chọn con đường để đi từ A, qua B rồi đến C là: 6 x 3 = 18 (cách) Đáp số: 18 cách Câu 2: Để tính số cách bầu ra 3 bạn làm cán bộ lớp từ 41 học sinh, ta thực hiện như sau: - Chọn lớp trưởng: Có 41 cách chọn. - Sau khi chọn lớp trưởng, còn lại 40 học sinh để chọn lớp phó học tập: Có 40 cách chọn. - Sau khi chọn lớp phó học tập, còn lại 39 học sinh để chọn bí thư: Có 39 cách chọn. Vậy số cách bầu ra 3 bạn làm cán bộ lớp là: \[ m = 41 \times 40 \times 39 \] Ta thực hiện phép nhân: \[ 41 \times 40 = 1640 \] \[ 1640 \times 39 = 63960 \] Vậy số cách bầu ra 3 bạn làm cán bộ lớp là 63960. Bây giờ, ta tính tổng các chữ số của số 63960: \[ 6 + 3 + 9 + 6 + 0 = 24 \] Vậy tổng các chữ số của m là 24. Đáp số: 24 Câu 3: Để lập được các số tự nhiên có 9 chữ số từ các chữ số 2, 3, 4 sao cho chữ số 2 xuất hiện 2 lần, chữ số 3 xuất hiện 3 lần và chữ số 4 xuất hiện 4 lần, ta thực hiện như sau: - Ta có tổng cộng 9 vị trí để đặt các chữ số. - Chữ số 2 cần xuất hiện 2 lần, chữ số 3 cần xuất hiện 3 lần và chữ số 4 cần xuất hiện 4 lần. Ta sẽ tính số cách sắp xếp các chữ số này theo công thức tổ hợp lặp lại: \[ \frac{9!}{2! \times 3! \times 4!} \] Trong đó: - \(9!\) là số cách sắp xếp 9 chữ số. - \(2!\) là số cách sắp xếp 2 chữ số 2. - \(3!\) là số cách sắp xếp 3 chữ số 3. - \(4!\) là số cách sắp xếp 4 chữ số 4. Bây giờ, ta tính từng giai thừa: \[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880 \] \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \] \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Thay vào công thức: \[ \frac{9!}{2! \times 3! \times 4!} = \frac{362880}{2 \times 6 \times 24} = \frac{362880}{288} = 1260 \] Vậy, từ các chữ số 2, 3, 4 lập được 1260 số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần. Đáp số: 1260 số tự nhiên. Câu 4: Để tìm giá trị của \( S = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \), ta có thể sử dụng phương pháp thay giá trị \( x = 1 \) vào khai triển đã cho. Bước 1: Thay \( x = 1 \) vào khai triển \((1 - 2x)^5\): \[ (1 - 2 \cdot 1)^5 = (1 - 2)^5 = (-1)^5 = -1 \] Bước 2: Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 \): \[ a_0 + a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 1^2 + a_3 \cdot 1^3 + a_4 \cdot 1^4 + a_5 \cdot 1^5 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \] Bước 3: Kết luận: \[ a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = -1 \] Vậy giá trị của \( S \) là: \[ S = -1 \] Câu 1: Để tìm số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau có tổng các chữ số bằng 18, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các trường hợp có thể xảy ra: - Chữ số hàng trăm (a) phải từ 1 đến 9 (vì số tự nhiên 3 chữ số không thể bắt đầu bằng 0). - Chữ số hàng chục (b) và hàng đơn vị (c) phải từ 0 đến 9, nhưng khác nhau và khác với a. 2. Kiểm tra từng trường hợp: - Nếu a = 9, thì b + c = 9. Các cặp (b, c) có thể là (0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0). Số lượng các cặp này là 10. - Nếu a = 8, thì b + c = 10. Các cặp (b, c) có thể là (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1). Số lượng các cặp này là 8. - Nếu a = 7, thì b + c = 11. Các cặp (b, c) có thể là (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2). Số lượng các cặp này là 8. - Nếu a = 6, thì b + c = 12. Các cặp (b, c) có thể là (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (3, 9), (4, 8), (5, 7), (7, 5), (8, 4), (9, 3). Số lượng các cặp này là 6. - Nếu a = 5, thì b + c = 13. Các cặp (b, c) có thể là (4, 9), (5, 8), (6, 7), (7, 6), (8, 5), (9, 4). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (4, 9), (5, 8), (6, 7), (7, 6), (8, 5), (9, 4). Số lượng các cặp này là 6. - Nếu a = 4, thì b + c = 14. Các cặp (b, c) có thể là (5, 9), (6, 8), (7, 7), (8, 6), (9, 5). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (5, 9), (6, 8), (8, 6), (9, 5). Số lượng các cặp này là 4. - Nếu a = 3, thì b + c = 15. Các cặp (b, c) có thể là (6, 9), (7, 8), (8, 7), (9, 6). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (6, 9), (7, 8), (8, 7), (9, 6). Số lượng các cặp này là 4. - Nếu a = 2, thì b + c = 16. Các cặp (b, c) có thể là (7, 9), (8, 8), (9, 7). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (7, 9), (9, 7). Số lượng các cặp này là 2. - Nếu a = 1, thì b + c = 17. Các cặp (b, c) có thể là (8, 9), (9, 8). Tuy nhiên, vì b và c phải khác nhau, nên các cặp (b, c) hợp lệ là (8, 9), (9, 8). Số lượng các cặp này là 2. 3. Tổng hợp kết quả: - Tổng số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau có tổng các chữ số bằng 18 là: 10 + 8 + 8 + 6 + 6 + 4 + 4 + 2 + 2 = 40 Vậy có 40 số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, biết tổng của 3 chữ số này bằng 18. Câu 2: Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển biểu thức $(\frac{x}{2} + \frac{8}{x})^4$. Theo công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó, \(a = \frac{x}{2}\), \(b = \frac{8}{x}\), và \(n = 4\). Ta cần tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển này. Mỗi số hạng trong khai triển có dạng: \[ \binom{4}{k} \left(\frac{x}{2}\right)^{4-k} \left(\frac{8}{x}\right)^k \] Chúng ta cần tìm \(k\) sao cho số hạng này không chứa \(x\). Xét số hạng này: \[ \binom{4}{k} \left(\frac{x}{2}\right)^{4-k} \left(\frac{8}{x}\right)^k = \binom{4}{k} \left(\frac{x^{4-k}}{2^{4-k}}\right) \left(\frac{8^k}{x^k}\right) \] Số hạng này không chứa \(x\) khi: \[ x^{4-k} \cdot x^{-k} = x^{4-2k} \] Để số hạng này không chứa \(x\), ta cần: \[ 4 - 2k = 0 \implies k = 2 \] Vậy, số hạng không chứa \(x\) là: \[ \binom{4}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{4-2} \left(\frac{8}{x}\right)^2 = \binom{4}{2} \left(\frac{x^2}{2^2}\right) \left(\frac{8^2}{x^2}\right) \] Tính toán tiếp: \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] \[ \left(\frac{x^2}{2^2}\right) \left(\frac{8^2}{x^2}\right) = \left(\frac{x^2}{4}\right) \left(\frac{64}{x^2}\right) = \frac{64}{4} = 16 \] Vậy, hệ số của số hạng không chứa \(x\) là: \[ 6 \times 16 = 96 \] Đáp số: 96 Câu 3: Để giải bài toán xác suất này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế: Tổng số cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế là: \[ 10! = 3,628,800 \] 2. Tìm số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam: - Đầu tiên, chúng ta xếp 4 bạn nữ vào 4 ghế liên tiếp, mỗi ghế cách nhau 2 ghế nam. Có 3 cách xếp 4 bạn nữ vào 4 ghế liên tiếp (vì có thể bắt đầu từ ghế 1, 2 hoặc 3). - Sau khi xếp 4 bạn nữ, còn lại 6 ghế cho 6 bạn nam. Số cách xếp 6 bạn nam vào 6 ghế là: \[ 6! = 720 \] - Số cách xếp 4 bạn nữ vào 4 ghế liên tiếp là: \[ 4! = 24 \] - Vậy số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam là: \[ 3 \times 720 \times 24 = 51,840 \] 3. Tìm số cách xếp sao cho Quang không ngồi cạnh Huyền: - Số cách xếp 10 học sinh sao cho Quang ngồi cạnh Huyền là: \[ 9! \times 2 = 362,880 \times 2 = 725,760 \] - Số cách xếp 10 học sinh sao cho Quang không ngồi cạnh Huyền là: \[ 10! - 725,760 = 3,628,800 - 725,760 = 2,903,040 \] 4. Tìm số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam và Quang không ngồi cạnh Huyền: - Số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam và Quang ngồi cạnh Huyền là: \[ 3 \times 8! \times 2 = 3 \times 40,320 \times 2 = 241,920 \] - Số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam và Quang không ngồi cạnh Huyền là: \[ 51,840 - 241,920 = 27,648 \] 5. Tính xác suất: Xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là: \[ \frac{27,648}{3,628,800} = \frac{1}{132} \] Đáp số: $\frac{1}{132}$