Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC=2a và A'B=3a. Tính góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (AB'C)

Để tính góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (AB'C), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B, do đó AB = BC. - Vì AC = 2a, ta có thể suy ra AB = BC = a√2 (vì trong tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng cạnh góc vuông nhân với √2). 2. Xác định đường cao từ C' xuống mặt phẳng (ABC): - Vì lăng trụ đứng, A'B vuông góc với mặt phẳng (ABC). Do đó, A'B = 3a. - Gọi H là chân đường cao hạ từ C' xuống mặt phẳng (ABC). Ta có C'H vuông góc với (ABC). 3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (AB'C) chung đường thẳng AB. - Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng AB. 4. Xác định góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'C) là góc giữa đường thẳng C'H và đường thẳng CH (CH là hình chiếu của C'H trên mặt phẳng (ABC)). - Vì C'H vuông góc với (ABC), ta có góc giữa hai mặt phẳng chính là góc C'HC. 5. Tính góc C'HC: - Trong tam giác vuông C'HC, ta có: - C'H = A'B = 3a (do lăng trụ đứng). - CH = BC = a√2 (vì CH là hình chiếu của C'H trên mặt phẳng (ABC)). - Ta sử dụng công thức tính tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông: $$ - Vậy góc C'HC là góc có tang bằng $$. 6. Kết luận: - Góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (AB'C) là góc có tang bằng $$. Đáp số: Góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (AB'C) là góc có tang bằng $$.