giải chi tiết cho em với ạ

Câu 74. Trước tiên, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosine trong tam giác ABC để tìm độ dài cạnh AC. Theo Định lý Cosine: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \] Biết rằng \( BC = 10 \) và \( \angle ABC = 60^\circ \), ta có: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Gọi độ dài cạnh AB là \( x \), ta có: \[ AC^2 = x^2 + 10^2 - 2 \cdot x \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AC^2 = x^2 + 100 - 10x \] Tiếp theo, ta biết rằng \( CM = \frac{8}{9} CA \). Gọi độ dài cạnh CA là \( y \), ta có: \[ CM = \frac{8}{9} y \] Bây giờ, ta sẽ sử dụng Định lý Cosine trong tam giác AMC để tìm độ dài đoạn thẳng BM. Theo Định lý Cosine: \[ BM^2 = AM^2 + AB^2 - 2 \cdot AM \cdot AB \cdot \cos(\angle BAM) \] Biết rằng \( AM = 3 \) và \( \angle BAM = 60^\circ \), ta có: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Gọi độ dài cạnh BM là \( z \), ta có: \[ z^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2} \] \[ z^2 = 9 + x^2 - 3x \] Ta cũng biết rằng \( BM > 8 \), do đó ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( z > 8 \). Bây giờ, ta sẽ sử dụng phương pháp thử và sai để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( z > 8 \). Giả sử \( x = 10 \): \[ AC^2 = 10^2 + 100 - 10 \cdot 10 \] \[ AC^2 = 100 + 100 - 100 \] \[ AC^2 = 100 \] \[ AC = 10 \] Do đó: \[ CM = \frac{8}{9} \cdot 10 = \frac{80}{9} \approx 8.89 \] Bây giờ, ta sẽ tính \( z \): \[ z^2 = 9 + 10^2 - 3 \cdot 10 \] \[ z^2 = 9 + 100 - 30 \] \[ z^2 = 79 \] \[ z \approx 8.9 \] Vì \( z > 8 \), nên giá trị \( x = 10 \) là hợp lý. Vậy đoạn thẳng BM dài khoảng 8.9 (gần đúng đến hàng phần mười). Đáp số: 8.9