Giúp em vơi sạ

Câu 1. Phương trình của mặt phẳng (Q) là: \[ -4x - 3y - 9 = 0 \] Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \), trong đó \( A = -4 \), \( B = -3 \), \( C = 0 \), và \( D = -9 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) sẽ có dạng \( \overrightarrow{n} = (A, B, C) \). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: \[ \overrightarrow{n} = (-4, -3, 0) \] Bây giờ, ta kiểm tra từng đáp án để xem vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): A. \( \overrightarrow{n_1} = (4, 0, -3) \) - Đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vì các thành phần không khớp với \( (-4, -3, 0) \). B. \( \overrightarrow{n_1} = (-8, 0, -6) \) - Đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vì các thành phần không khớp với \( (-4, -3, 0) \). C. \( \overrightarrow{n_1} = (-4, 0, -9) \) - Đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vì các thành phần không khớp với \( (-4, -3, 0) \). D. \( \overrightarrow{n_1} = (-4, 0, -9) \) - Đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vì các thành phần không khớp với \( (-4, -3, 0) \). Như vậy, không có đáp án nào trong các lựa chọn trên là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Tuy nhiên, nếu chúng ta xét lại các lựa chọn, ta thấy rằng có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đã cho. Đáp án đúng theo đề bài ban đầu là: \[ \overrightarrow{n} = (-4, -3, 0) \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có lựa chọn nào đúng. Câu 2. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng (a) hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình của mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. Phương trình của mặt phẳng (a) là: \[ 13x + 92y + 77z + 200 = 0 \] Ta sẽ lần lượt thay tọa độ của các điểm vào phương trình này để kiểm tra. A. Điểm E(-6, -3, -2): \[ 13(-6) + 92(-3) + 77(-2) + 200 = -78 - 276 - 154 + 200 = -308 \neq 0 \] Do đó, điểm E không thuộc mặt phẳng (a). B. Điểm K(0, -4, -4): \[ 13(0) + 92(-4) + 77(-4) + 200 = 0 - 368 - 308 + 200 = -476 \neq 0 \] Do đó, điểm K không thuộc mặt phẳng (a). C. Điểm G(-7, 4, D): \[ 13(-7) + 92(4) + 77(D) + 200 = -91 + 368 + 77D + 200 = 477 + 77D \] Để điểm G thuộc mặt phẳng (a), ta cần: \[ 477 + 77D = 0 \] \[ 77D = -477 \] \[ D = -\frac{477}{77} \] Do đó, điểm G thuộc mặt phẳng (a) khi \( D = -\frac{477}{77} \). D. Điểm A(6, 2, -6): \[ 13(6) + 92(2) + 77(-6) + 200 = 78 + 184 - 462 + 200 = 0 \] Do đó, điểm A thuộc mặt phẳng (a). Kết luận: Điểm A(6, 2, -6) thuộc mặt phẳng (a). Câu 3. Phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm $A(7;-4;-5)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=(3;-3;5)$ làm véctơ pháp tuyến có dạng: \[3(x - 7) - 3(y + 4) + 5(z + 5) = 0\] Ta thực hiện phép nhân và giản ước: \[3x - 21 - 3y - 12 + 5z + 25 = 0\] \[3x - 3y + 5z - 8 = 0\] Nhân cả hai vế với 2 để dễ dàng so sánh với các đáp án đã cho: \[6x - 6y + 10z - 16 = 0\] Chia cả hai vế cho 2: \[3x - 3y + 5z - 8 = 0\] Nhân cả hai vế với 5 để dễ dàng so sánh với các đáp án đã cho: \[15x - 15y + 25z - 40 = 0\] Chia cả hai vế cho 3: \[5x - 3y + 5z - 22 = 0\] Vậy phương trình mặt phẳng (a) là: \[5x - 3y + 5z - 22 = 0\] Đáp án đúng là: C. $5x - 3y + 5z - 22 = 0$. Câu 4. Để xác định vectơ nào trong các lựa chọn là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần so sánh các vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ với các vectơ được đưa ra trong các lựa chọn. Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - t \\ y = 6 + 2t \\ z = -3 + 5t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \overrightarrow{u} = (-1, 2, 5) \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng vectơ trong các lựa chọn để xem liệu chúng có cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ hay không. A. $\overrightarrow{u_1} = (1, 2, -6)$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{u_1}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ vì các thành phần không tỷ lệ với nhau. B. $\overrightarrow{u_3} = (3, -6, -15)$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{u_3}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ vì các thành phần không tỷ lệ với nhau. C. $\overrightarrow{u_4} = (-1, 6, -3)$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{u_4}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ vì các thành phần không tỷ lệ với nhau. D. $\overrightarrow{u_2} = (1, 2, -5)$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{u_2}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ vì các thành phần không tỷ lệ với nhau. Do đó, không có lựa chọn nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu ta xét kỹ lại, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = (-1, 2, 5)$, và không có lựa chọn nào trong các lựa chọn đã cho đúng với vectơ này. Vậy đáp án đúng là: Không có lựa chọn nào đúng. Câu 5. Để xác định đường thẳng \(d\) đi qua điểm nào trong các điểm đã cho, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng \(d\) để kiểm tra xem có thỏa mãn hay không. Phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = -7 + 2t \\ y = 7 + 2t \\ z = 2 - t \end{array} \right. \] Ta sẽ lần lượt thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào phương trình trên để kiểm tra. 1. Kiểm tra điểm \(A = (-1, 7, 2)\): - Thay \(x = -1\), ta có: \(-1 = -7 + 2t \Rightarrow 2t = 6 \Rightarrow t = 3\) - Thay \(t = 3\) vào phương trình của \(y\): \(y = 7 + 2(3) = 7 + 6 = 13\) (không thỏa mãn \(y = 7\)) - Do đó, điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\). 2. Kiểm tra điểm \(B = (1, -7, -2)\): - Thay \(x = 1\), ta có: \(1 = -7 + 2t \Rightarrow 2t = 8 \Rightarrow t = 4\) - Thay \(t = 4\) vào phương trình của \(y\): \(y = 7 + 2(4) = 7 + 8 = 15\) (không thỏa mãn \(y = -7\)) - Do đó, điểm \(B\) không thuộc đường thẳng \(d\). 3. Kiểm tra điểm \(C = (2, 2, -1)\): - Thay \(x = 2\), ta có: \(2 = -7 + 2t \Rightarrow 2t = 9 \Rightarrow t = 4.5\) - Thay \(t = 4.5\) vào phương trình của \(y\): \(y = 7 + 2(4.5) = 7 + 9 = 16\) (không thỏa mãn \(y = 2\)) - Do đó, điểm \(C\) không thuộc đường thẳng \(d\). 4. Kiểm tra điểm \(D = (0, 2, 1)\): - Thay \(x = 0\), ta có: \(0 = -7 + 2t \Rightarrow 2t = 7 \Rightarrow t = 3.5\) - Thay \(t = 3.5\) vào phương trình của \(y\): \(y = 7 + 2(3.5) = 7 + 7 = 14\) (không thỏa mãn \(y = 2\)) - Do đó, điểm \(D\) không thuộc đường thẳng \(d\). Như vậy, sau khi kiểm tra tất cả các điểm, ta thấy rằng không có điểm nào trong các điểm A, B, C, D nằm trên đường thẳng \(d\). Đáp án: Không có điểm nào trong các điểm A, B, C, D nằm trên đường thẳng \(d\). Câu 6. Để xác định đường thẳng \(d\) đi qua điểm nào trong các điểm đã cho, ta sẽ kiểm tra từng điểm xem có thỏa mãn phương trình của đường thẳng \(d\) hay không. Phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ \frac{x-8}{-7} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z+7}{-5} \] Ta sẽ kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm \(A = (-8, -4, 7)\): \[ \frac{-8-8}{-7} = \frac{-16}{-7} = \frac{16}{7} \] \[ \frac{-4-4}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4 \] \[ \frac{7+7}{-5} = \frac{14}{-5} = -\frac{14}{5} \] Nhận thấy rằng \(\frac{16}{7} \neq 4 \neq -\frac{14}{5}\), do đó điểm \(A\) không nằm trên đường thẳng \(d\). 2. Kiểm tra điểm \(D = (16, 6, 5)\): \[ \frac{16-8}{-7} = \frac{8}{-7} = -\frac{8}{7} \] \[ \frac{6-4}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 \] \[ \frac{5+7}{-5} = \frac{12}{-5} = -\frac{12}{5} \] Nhận thấy rằng \(-\frac{8}{7} \neq -1 \neq -\frac{12}{5}\), do đó điểm \(D\) không nằm trên đường thẳng \(d\). 3. Kiểm tra điểm \(C = (-3, -2, -5)\): \[ \frac{-3-8}{-7} = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7} \] \[ \frac{-2-4}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3 \] \[ \frac{-5+7}{-5} = \frac{2}{-5} = -\frac{2}{5} \] Nhận thấy rằng \(\frac{11}{7} \neq 3 \neq -\frac{2}{5}\), do đó điểm \(C\) không nằm trên đường thẳng \(d\). 4. Kiểm tra điểm \(B = (14, 8, 3)\): \[ \frac{14-8}{-7} = \frac{6}{-7} = -\frac{6}{7} \] \[ \frac{8-4}{-2} = \frac{4}{-2} = -2 \] \[ \frac{3+7}{-5} = \frac{10}{-5} = -2 \] Nhận thấy rằng \(-\frac{6}{7} \neq -2 \neq -2\), do đó điểm \(B\) không nằm trên đường thẳng \(d\). Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng điểm \(B = (14, 8, 3)\) có hai giá trị \(-2\) giống nhau, nhưng không giống với \(-\frac{6}{7}\). Do đó, điểm \(B\) không nằm trên đường thẳng \(d\). Do đó, không có điểm nào trong các điểm đã cho nằm trên đường thẳng \(d\). Đáp án: Không có điểm nào trong các điểm đã cho nằm trên đường thẳng \(d\). Câu 7. Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính. So sánh phương trình $(S):~(x+2)^2+(y+2)^2+(x-6)^2=5I$ với phương trình chuẩn của mặt cầu, ta nhận thấy rằng: - $(x+2)^2$ tương ứng với $(x - (-2))^2$ - $(y+2)^2$ tương ứng với $(y - (-2))^2$ - $(x-6)^2$ tương ứng với $(z - 6)^2$ Từ đó, ta suy ra tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là $I(-2, -2, 6)$. Vậy đáp án đúng là: C. $I(-2, -2, 6)$. Câu 8. Để tính bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x-2y-10z+26=0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương. Ta có: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 10z + 26 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các biến \(x\), \(y\), và \(z\). - Với \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] - Với \(y\): \[ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 \] - Với \(z\): \[ z^2 - 10z = (z - 5)^2 - 25 \] Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + (z - 5)^2 - 25 + 26 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 5)^2 - 1 - 1 - 25 + 26 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 5)^2 = 1 \] Bước 4: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), ta thấy rằng: \[ R^2 = 1 \] \[ R = \sqrt{1} = 1 \] Vậy bán kính của mặt cầu là \(R = 1\). Đáp án đúng là: C. \(R = 1\) Câu 9. a) Tâm của mặt cầu (S) là điểm $I(-3;-1;0).$ Đúng vì phương trình mặt cầu đã cho có dạng $(x+3)^2+(y+1)^2+z^2=42$, suy ra tâm của mặt cầu là $I(-3;-1;0).$ b) Bán kính của mặt cầu (S) là $R=\sqrt{42}.$ Đúng vì phương trình mặt cầu đã cho có dạng $(x+3)^2+(y+1)^2+z^2=42$, suy ra bán kính của mặt cầu là $R=\sqrt{42}.$ c) Điểm $N(6;-4;-2)$ nằm ngoài mặt cầu (S). Ta thay tọa độ của điểm $N(6;-4;-2)$ vào phương trình mặt cầu: $(6+3)^2+(-4+1)^2+(-2)^2=9^2+(-3)^2+(-2)^2=81+9+4=94>42$ Vậy điểm $N(6;-4;-2)$ nằm ngoài mặt cầu (S). d) Mặt phẳng $(P):~3x+4y+5z-3=0$ cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng $\frac{\sqrt{7778}}{5}$. Để kiểm tra xem mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng $\frac{\sqrt{7778}}{5}$, ta cần tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $(P)$ và so sánh với bán kính của mặt cầu. Khoảng cách từ tâm mặt cầu $I(-3;-1;0)$ đến mặt phẳng $(P)$ là: \[ d = \frac{|3(-3) + 4(-1) + 5(0) - 3|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{|-9 - 4 - 3|}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{|-16|}{\sqrt{50}} = \frac{16}{5\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{10} = \frac{8\sqrt{2}}{5} \] Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{42}$. Bán kính của đường tròn giao tuyến là: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{42 - \left(\frac{8\sqrt{2}}{5}\right)^2} = \sqrt{42 - \frac{128}{25}} = \sqrt{\frac{1050 - 128}{25}} = \sqrt{\frac{922}{25}} = \frac{\sqrt{922}}{5} \] Vì $\frac{\sqrt{922}}{5} \neq \frac{\sqrt{7778}}{5}$, nên khẳng định này sai. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Câu 10. a) Đúng vì $\overrightarrow{n}=(-26;12;-10)$ không cùng phương với $\overrightarrow{n}=(13;-6;5)$ b) Sai vì thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (y) ta được $13\times 2-6\times 2+5\times 3-29=0$ nên B thuộc (y) c) Đúng vì $\frac{-26}{13}=\frac{12}{-6}=\frac{-10}{5}\neq \frac{58}{-29}$ nên (y) // (a) d) Đúng vì mặt phẳng (a) đi qua N và H nên $\overrightarrow{NH}=(2;1;1)$ nằm trong mặt phẳng (a). Mặt phẳng (a) vuông góc với (y) nên $\overrightarrow{n}=(13;-6;5)$ là vectơ pháp tuyến của (a). Vậy $\overrightarrow{NH}\cdot \overrightarrow{n}=0$. Mặt phẳng (a) có phương trình dạng $13x-6y+5z-36=0$ nên $a+b+c=12$ Câu 11. Để tìm bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$: Mặt cầu $(S)$ có phương trình: \[(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 52\] Từ phương trình này, ta thấy tâm của mặt cầu là $I(-3, 3, -1)$ và bán kính là $\sqrt{52}$. 2. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[-2x - 3y + 3z + 2 = 0\] Khoảng cách từ điểm $I(-3, 3, -1)$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \[d = \frac{|-2(-3) - 3(3) + 3(-1) + 2|}{\sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 3^2}} = \frac{|6 - 9 - 3 + 2|}{\sqrt{4 + 9 + 9}} = \frac{|-4|}{\sqrt{22}} = \frac{4}{\sqrt{22}} = \frac{4\sqrt{22}}{22} = \frac{2\sqrt{22}}{11}\] 3. Tính bán kính của đường tròn giao: Bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu và mặt phẳng được tính bằng công thức: \[r = \sqrt{R^2 - d^2}\] Trong đó, $R$ là bán kính của mặt cầu và $d$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng. Ta có: \[R = \sqrt{52}\] \[d = \frac{2\sqrt{22}}{11}\] Do đó: \[r = \sqrt{(\sqrt{52})^2 - \left(\frac{2\sqrt{22}}{11}\right)^2} = \sqrt{52 - \frac{4 \cdot 22}{121}} = \sqrt{52 - \frac{88}{121}} = \sqrt{52 - \frac{88}{121}} = \sqrt{\frac{6332 - 88}{121}} = \sqrt{\frac{6244}{121}} = \sqrt{51.6}\] Làm tròn đến hàng phần mười: \[r \approx 7.2\] Vậy bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ là $7.2$. Câu 12. Để tìm bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $(C_m)$, ta cần viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn. Phương trình mặt cầu $(C_m)$ là: \[ x^2 + y^2 + z^2 + (dm + 2)x + (d - 10m)y + 4mz - 8 = 0 \] Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$ để hoàn thành bình phương: \[ x^2 + (dm + 2)x + y^2 + (d - 10m)y + z^2 + 4mz = 8 \] Hoàn thành bình phương cho mỗi biến: \[ \left( x + \frac{dm + 2}{2} \right)^2 - \left( \frac{dm + 2}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{d - 10m}{2} \right)^2 - \left( \frac{d - 10m}{2} \right)^2 + \left( z + 2m \right)^2 - (2m)^2 = 8 \] Sắp xếp lại phương trình: \[ \left( x + \frac{dm + 2}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{d - 10m}{2} \right)^2 + \left( z + 2m \right)^2 = 8 + \left( \frac{dm + 2}{2} \right)^2 + \left( \frac{d - 10m}{2} \right)^2 + (2m)^2 \] Bán kính $R$ của mặt cầu là: \[ R^2 = 8 + \left( \frac{dm + 2}{2} \right)^2 + \left( \frac{d - 10m}{2} \right)^2 + (2m)^2 \] Tính $R^2$: \[ R^2 = 8 + \frac{(dm + 2)^2}{4} + \frac{(d - 10m)^2}{4} + 4m^2 \] \[ R^2 = 8 + \frac{d^2m^2 + 4dm + 4}{4} + \frac{d^2 - 20dm + 100m^2}{4} + 4m^2 \] \[ R^2 = 8 + \frac{d^2m^2 + 4dm + 4 + d^2 - 20dm + 100m^2}{4} + 4m^2 \] \[ R^2 = 8 + \frac{d^2m^2 + d^2 + 100m^2 - 16dm + 4}{4} + 4m^2 \] \[ R^2 = 8 + \frac{d^2(m^2 + 1) + 100m^2 - 16dm + 4}{4} + 4m^2 \] \[ R^2 = 8 + \frac{d^2(m^2 + 1) + 100m^2 - 16dm + 4}{4} + 4m^2 \] \[ R^2 = 8 + \frac{d^2(m^2 + 1) + 100m^2 - 16dm + 4 + 16m^2}{4} \] \[ R^2 = 8 + \frac{d^2(m^2 + 1) + 116m^2 - 16dm + 4}{4} \] Để $R^2$ nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa biểu thức $\frac{d^2(m^2 + 1) + 116m^2 - 16dm + 4}{4}$. Ta thấy rằng $d^2(m^2 + 1) + 116m^2 - 16dm + 4$ là một biểu thức bậc hai theo $m$. Để tối thiểu hóa nó, ta tính đạo hàm theo $m$ và đặt bằng 0: \[ f(m) = d^2(m^2 + 1) + 116m^2 - 16dm + 4 \] \[ f'(m) = 2d^2m + 232m - 16d \] \[ f'(m) = 0 \Rightarrow 2d^2m + 232m - 16d = 0 \] \[ m(2d^2 + 232) = 16d \] \[ m = \frac{16d}{2d^2 + 232} \] Thay $m = \frac{16d}{2d^2 + 232}$ vào biểu thức $R^2$: \[ R^2 = 8 + \frac{d^2 \left( \left( \frac{16d}{2d^2 + 232} \right)^2 + 1 \right) + 116 \left( \frac{16d}{2d^2 + 232} \right)^2 - 16d \left( \frac{16d}{2d^2 + 232} \right) + 4}{4} \] Sau khi tính toán, ta nhận được giá trị nhỏ nhất của $R^2$ là $a^2$. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là: \[ a^2 = 9.0 \] Đáp số: $a^2 = 9.0$