Cho tôi đáp án câu 3

Câu 3. Đầu tiên, ta xác định các thông số của elip: - Trục lớn (2a) = 40 cm, suy ra bán kính lớn (a) = 20 cm. - Trục nhỏ (2b) = 17,4 cm, suy ra bán kính nhỏ (b) = 8,7 cm. Tiếp theo, ta tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{20^2 - 8,7^2} = \sqrt{400 - 75,69} = \sqrt{324,31} \approx 18,01 \text{ cm} \] Khoảng cách từ đầu phát siêu âm (F1) đến viên sỏi thận (F2) là khoảng cách giữa hai tiêu điểm: \[ F_1F_2 = 2c = 2 \times 18,01 = 36,02 \text{ cm} \] Vậy khoảng cách từ đầu phát siêu âm đến viên sỏi thận là 36,02 cm. Câu 4. Độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục nhỏ nên elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a = 2b$. Trung tâm elip là $(0,0)$ và tiêu điểm $F_1(-\sqrt{3},0)$, do đó khoảng cách từ trung tâm đến tiêu điểm là $c = \sqrt{3}$. Ta có $c^2 = a^2 - b^2$, suy ra $3 = 4b^2 - b^2$, tức là $3 = 3b^2$, suy ra $b^2 = 1$, do đó $b = 1$ và $a = 2$. Phương trình elip là $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. Đường thẳng $d$ song song với trục hoành và cắt elip tại hai điểm $A$ và $B$. Gọi phương trình của $d$ là $y = k$. Thay vào phương trình elip ta có: $\frac{x^2}{4} + k^2 = 1$, suy ra $x^2 = 4(1 - k^2)$. Do đó, tọa độ của hai điểm $A$ và $B$ là $A(x_1, k)$ và $B(x_2, k)$, trong đó $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 = 4(1 - k^2)$. Ta có $x_1 = 2\sqrt{1 - k^2}$ và $x_2 = -2\sqrt{1 - k^2}$. Để $OA \perp OB$, ta có $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$. $\vec{OA} = (x_1, k)$ và $\vec{OB} = (x_2, k)$. $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = x_1 x_2 + k^2 = 0$. Thay $x_1$ và $x_2$ vào ta có: $(2\sqrt{1 - k^2})(-2\sqrt{1 - k^2}) + k^2 = 0$, suy ra $-4(1 - k^2) + k^2 = 0$, suy ra $-4 + 4k^2 + k^2 = 0$, suy ra $5k^2 = 4$, suy ra $k^2 = \frac{4}{5}$, suy ra $k = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $y = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ hoặc $y = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của elip và các tiêu điểm. 2. Tính khoảng cách từ điểm M trên elip đến hai tiêu điểm. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương các khoảng cách này. Bước 1: Xác định phương trình của elip và các tiêu điểm. Phương trình của elip là: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Trong đó, \(a^2 = 9\) và \(b^2 = 4\). Do đó, \(a = 3\) và \(b = 2\). Tiêu cự \(c\) của elip được tính bằng công thức: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \] Vậy hai tiêu điểm của elip là \(F_1(-\sqrt{5}, 0)\) và \(F_2(\sqrt{5}, 0)\). Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm M trên elip đến hai tiêu điểm. Gọi \(M(x, y)\) là một điểm bất kỳ trên elip. Khoảng cách từ \(M\) đến \(F_1\) và \(F_2\) lần lượt là: \[ MF_1 = \sqrt{(x + \sqrt{5})^2 + y^2} \] \[ MF_2 = \sqrt{(x - \sqrt{5})^2 + y^2} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương các khoảng cách này. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của: \[ MF_1^2 + MF_2^2 = (x + \sqrt{5})^2 + y^2 + (x - \sqrt{5})^2 + y^2 \] Rút gọn biểu thức: \[ MF_1^2 + MF_2^2 = (x + \sqrt{5})^2 + (x - \sqrt{5})^2 + 2y^2 \] \[ = x^2 + 2x\sqrt{5} + 5 + x^2 - 2x\sqrt{5} + 5 + 2y^2 \] \[ = 2x^2 + 10 + 2y^2 \] \[ = 2(x^2 + y^2) + 10 \] Vì \(M(x, y)\) nằm trên elip, nên ta có: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Nhân cả hai vế với 36: \[ 4x^2 + 9y^2 = 36 \] Do đó: \[ x^2 + y^2 = \frac{36 - 5y^2}{4} \] Thay vào biểu thức \(2(x^2 + y^2) + 10\): \[ 2(x^2 + y^2) + 10 = 2 \left( \frac{36 - 5y^2}{4} \right) + 10 \] \[ = \frac{72 - 10y^2}{4} + 10 \] \[ = 18 - \frac{5y^2}{2} + 10 \] \[ = 28 - \frac{5y^2}{2} \] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức này xảy ra khi \(y^2\) lớn nhất. Vì \(y^2 \leq 4\) (do \(y^2 \leq b^2 = 4\)), giá trị lớn nhất của \(y^2\) là 4. Khi \(y^2 = 4\), ta có: \[ 28 - \frac{5 \cdot 4}{2} = 28 - 10 = 18 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MF_1^2 + MF_2^2\) là 18, đạt được khi \(y^2 = 4\), tức là \(y = \pm 2\). Khi đó, từ phương trình elip: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{4}{4} = 1 \] \[ \frac{x^2}{9} + 1 = 1 \] \[ \frac{x^2}{9} = 0 \] \[ x = 0 \] Vậy điểm \(M\) trên elip mà \(MF_1^2 + MF_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(M(0, 2)\) hoặc \(M(0, -2)\). Đáp số: \(M(0, 2)\) hoặc \(M(0, -2)\).