Bài 4 (2 điểm): Cho phương trình x2 – (m + 5)x + 3m + 6 = 0 (x là ẩn số). a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 là độ dài h...

Bài 4 a) Ta xét phương trình x^2 – (m + 5)x + 3m + 6 = 0 Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m, ta cần kiểm tra delta (Δ) của phương trình này. Δ = (m + 5)^2 - 4(3m + 6) = m^2 + 10m + 25 - 12m - 24 = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2 Vì (m - 1)^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực m, nên Δ luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m. b) Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5. Theo định lý Pythagoras, ta có: x1^2 + x2^2 = 5^2 x1^2 + x2^2 = 25 Ta biết rằng tổng và tích của hai nghiệm của phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 là: x1 + x2 = -b/a x1 x2 = c/a Áp dụng vào phương trình x^2 – (m + 5)x + 3m + 6 = 0, ta có: x1 + x2 = m + 5 x1 x2 = 3m + 6 Ta cũng biết rằng: (x1 + x2)^2 = x1^2 + x2^2 + 2x1x2 Thay các giá trị đã biết vào, ta có: (m + 5)^2 = 25 + 2(3m + 6) Giải phương trình này: m^2 + 10m + 25 = 25 + 6m + 12 m^2 + 10m + 25 = 37 + 6m m^2 + 4m - 12 = 0 Phương trình này có nghiệm là: m = 2 hoặc m = -6 Vậy m = 2 hoặc m = -6 để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.