Giải giúp mk với ạ Câu 1. Cho tích phân $I=\int^a_{-a}\sqrt{a^2-x^2}dx.$ với $a0.$ Tìm giá trị của a để $I=8\pi.$

Question

Giải giúp mk với ạ Câu 1. Cho tích phân $I=\int^a_{-a}\sqrt{a^2-x^2}dx.$ với $a>0.$ Tìm giá trị của a để $I=8\pi.$

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính tích phân $ I = \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $:
   - Nhận thấy rằng hàm $ f(x) = \sqrt{a^2 - x^2} $ là hàm chẵn, do đó:
     $$
     I = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx
     $$

2. Tính tích phân $ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $:
   - Ta sử dụng phương pháp đổi biến số $ x = a \sin t $, từ đó $ dx = a \cos t \, dt $. Khi $ x = 0 $, $ t = 0 $; khi $ x = a $, $ t = \frac{\pi}{2} $.
   - Thay vào tích phân:
     $$
     \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} \cdot a \cos t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a \cos t \cdot a \cos t \, dt = a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt
     $$
   - Ta biết rằng $ \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} $, do đó:
     $$
     a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt = a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{a^2}{2} \left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{a^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right) = \frac{a^2 \pi}{4}
     $$

3. Tính tích phân ban đầu $ I $:
   - Từ kết quả trên, ta có:
     $$
     I = 2 \cdot \frac{a^2 \pi}{4} = \frac{a^2 \pi}{2}
     $$

4. Tìm giá trị của $ a $ sao cho $ I = 8\pi $:
   - Ta có phương trình:
     $$
     \frac{a^2 \pi}{2} = 8\pi
     $$
   - Chia cả hai vế cho $ \pi $:
     $$
     \frac{a^2}{2} = 8
     $$
   - Nhân cả hai vế với 2:
     $$
     a^2 = 16
     $$
   - Lấy căn bậc hai của cả hai vế:
     $$
     a = 4 \quad (\text{vì } a > 0)
     $$

Vậy giá trị của $ a $ để $ I = 8\pi $ là $ a = 4 $.

Đáp số: $ a = 4 $.