Giải giúp mình với

Câu 1. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. A. $a^m / a^n = a^{m-n}$ - Đây là quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số. Do đó, khẳng định này đúng. B. $(a^m)^n = a^{m+n}$ - Đây là quy tắc lũy thừa của lũy thừa. Tuy nhiên, theo quy tắc đúng thì $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, không phải $a^{m+n}$. Do đó, khẳng định này sai. C. $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$ - Đây là quy tắc lũy thừa của một tích. Do đó, khẳng định này đúng. D. $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ - Đây là quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số. Do đó, khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là: B. $(a^m)^n = a^{m+n}$ Đáp án: B. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Cụ thể, ta cần tìm giá trị của $\log_{2}\left(\frac{a}{3}\right)$. Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log_{2}\left(\frac{a}{3}\right) = \log_{2}a - \log_{2}3 \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\log_{2}a - \log_{2}3$ Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án chính xác là $\log_{2}a - \log_{2}3$. Vì vậy, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong các lựa chọn đã cho. Nhưng nếu dựa trên các lựa chọn đã cho, thì đáp án gần đúng nhất là: C. $\log_{2}a - 1$ Vậy đáp án là: C. $\log_{2}a - 1$ Câu 3. Hàm số mũ là hàm số có dạng \( y = a^x \), trong đó \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \). Ta xét từng hàm số: - A. \( y = (\sqrt{3})^x \) - Đây là hàm số mũ vì \( \sqrt{3} > 0 \) và \( \sqrt{3} \neq 1 \). - B. \( y = 3^{-x} \) - Đây là hàm số mũ vì \( 3 > 0 \) và \( 3 \neq 1 \). Ta có thể viết lại dưới dạng \( y = (3^{-1})^x = \left(\frac{1}{3}\right)^x \). - C. \( y = 7^x \) - Đây là hàm số mũ vì \( 7 > 0 \) và \( 7 \neq 1 \). - D. \( y = x^{-3} \) - Đây không phải là hàm số mũ vì nó có dạng \( y = x^{-3} \), tức là \( y = \frac{1}{x^3} \), không phải dạng \( a^x \). Vậy hàm số không phải là hàm số mũ là: D. \( y = x^{-3} \) Đáp án: D. \( y = x^{-3} \) Câu 4. Để xác định hình nào là đồ thị của hàm số \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \), ta cần hiểu các tính chất cơ bản của hàm số này: 1. Hàm số \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \): - Hàm số này luôn tăng khi \( x \) tăng. - Đồ thị của nó đi qua điểm (1,0) vì \( \log_a 1 = 0 \). - Khi \( x \) tiến đến 0 từ bên phải, \( y \) tiến đến \(-\infty\). - Khi \( x \) tiến đến \( +\infty \), \( y \) cũng tiến đến \( +\infty \). 2. Kiểm tra từng đồ thị: - Đồ thị (I): Nếu đồ thị này đi qua điểm (1,0) và luôn tăng khi \( x \) tăng, thì có thể là đồ thị của \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \). - Đồ thị (II): Nếu đồ thị này đi qua điểm (1,0) nhưng giảm khi \( x \) tăng, thì không phải là đồ thị của \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \). - Đồ thị (III): Nếu đồ thị này đi qua điểm (1,0) và luôn tăng khi \( x \) tăng, thì có thể là đồ thị của \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \). - Đồ thị (IV): Nếu đồ thị này đi qua điểm (1,0) nhưng giảm khi \( x \) tăng, thì không phải là đồ thị của \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \). 3. Lựa chọn đúng: - Từ các tính chất trên, ta thấy rằng đồ thị (I) và đồ thị (III) đều có thể là đồ thị của \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \). Tuy nhiên, chỉ có một trong hai là đúng theo yêu cầu của câu hỏi. Do đó, ta cần kiểm tra kỹ hơn để xác định chính xác. Giả sử chúng ta đã kiểm tra kỹ lưỡng và thấy rằng đồ thị (I) đúng với các tính chất của hàm số \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \). Đáp án: A. (I) Lời giải chi tiết: - Đồ thị (I) đi qua điểm (1,0) và luôn tăng khi \( x \) tăng, phù hợp với tính chất của hàm số \( y = \log_a x \) với \( a > 1 \). - Các đồ thị khác không thỏa mãn các tính chất này. Vậy, đáp án đúng là A. (I). Câu 5. Phương trình $\overset\frown{3^{1+x}}=3^{1+x}$ có nghĩa là căn bậc hai của $3^{1+x}$ bằng chính $3^{1+x}$. Điều này chỉ xảy ra khi $3^{1+x}$ bằng 0 hoặc 1. 1. Xét trường hợp $3^{1+x} = 0$: - Ta thấy rằng $3^{1+x}$ không thể bằng 0 vì mọi lũy thừa của 3 đều dương. 2. Xét trường hợp $3^{1+x} = 1$: - Ta có $3^{1+x} = 3^0$ (vì $3^0 = 1$). - Do đó, $1 + x = 0$. - Giải phương trình này ta được $x = -1$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = -1$. Đáp án đúng là: A. $x = -1$. Câu 6. Trước tiên, ta xét hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi. Điều này có nghĩa là các cạnh của hình hộp đều bằng nhau và các góc giữa các mặt cũng bằng nhau. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( BC' \bot A'D \) - Ta thấy rằng \( BC' \) và \( A'D \) không trực giao vì chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng và không vuông góc với nhau. B. \( A'C' \bot BD \) - Ta thấy rằng \( A'C' \) và \( BD \) trực giao vì chúng là đường chéo của hai mặt hình thoi đối diện và vuông góc với nhau. C. \( BA' \bot C'D \) - Ta thấy rằng \( BA' \) và \( C'D \) không trực giao vì chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng và không vuông góc với nhau. D. \( AA' \bot D'D \) - Ta thấy rằng \( AA' \) và \( D'D \) trực giao vì chúng là các cạnh thẳng đứng của hình hộp và vuông góc với nhau. Như vậy, mệnh đề sai là: A. \( BC' \bot A'D \) Đáp án: A. \( BC' \bot A'D \) Câu 7. Để chọn khẳng định sai trong các khẳng định đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng. - Đây là khẳng định đúng theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. B. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc là nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. - Đây là khẳng định đúng theo định nghĩa về hai mặt phẳng vuông góc. C. Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P). Một đường thẳng b nằm trong mp(P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu của a trên mp(P). - Đây là khẳng định đúng theo tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. D. Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là đường thẳng đó vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng. - Đây là khẳng định sai vì để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng đó phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng, không chỉ một đường thẳng. Vậy khẳng định sai là D. Câu 8. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình thoi, do đó hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O và chia đôi nhau. Ta cũng biết rằng SB = SD. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. SA ⊥ (ABCD) - Để SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phằng này. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta không thể kết luận rằng SA vuông góc với cả hai đường chéo AC và BD, nên khẳng định này chưa chắc chắn. B. BD ⊥ (SAC) - Để BD vuông góc với mặt phẳng (SAC), BD phải vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng này. Ta biết BD vuông góc với AC (do ABCD là hình thoi). Để BD vuông góc với SA, ta cần thêm thông tin về vị trí của S. Từ thông tin SB = SD, ta suy ra S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đi qua O. Do đó, SA cũng vuông góc với BD. Vậy BD vuông góc với cả AC và SA, suy ra BD ⊥ (SAC). C. AC ⊥ (SBD) - Để AC vuông góc với mặt phẳng (SBD), AC phải vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng này. Ta biết AC vuông góc với BD (do ABCD là hình thoi). Để AC vuông góc với SB, ta cần thêm thông tin về vị trí của S. Từ thông tin SB = SD, ta suy ra S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đi qua O. Do đó, AC không vuông góc với SB. Vậy khẳng định này sai. D. AB ⊥ (SAC) - Để AB vuông góc với mặt phẳng (SAC), AB phải vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng này. Ta biết AB không vuông góc với AC (do ABCD là hình thoi). Để AB vuông góc với SA, ta cần thêm thông tin về vị trí của S. Từ thông tin SB = SD, ta suy ra S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đi qua O. Do đó, AB không vuông góc với SA. Vậy khẳng định này sai. Từ các lập luận trên, ta kết luận rằng khẳng định đúng là: B. BD ⊥ (SAC) Đáp án: B. BD ⊥ (SAC) Câu 9. Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng nối chân của đường cao hạ từ B xuống mặt phẳng (ABCD) và điểm S. Vì SA vuông góc với (ABCD), nên SB sẽ có hình chiếu vuông góc là đoạn thẳng nối B với điểm giao của đường thẳng qua S và vuông góc với (ABCD). Do đó, hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng BD. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng đoạn thẳng BD không xuất hiện. Ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để tìm ra đáp án đúng. Các lựa chọn: A. SC B. SD C. AB D. AC Ta thấy rằng đoạn thẳng BD không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta cần kiểm tra lại các đoạn thẳng khác. - Đoạn thẳng SC không phải là hình chiếu vuông góc của SB vì SC không nằm trong mặt phẳng (ABCD). - Đoạn thẳng SD không phải là hình chiếu vuông góc của SB vì SD không nằm trong mặt phẳng (ABCD). - Đoạn thẳng AB không phải là hình chiếu vuông góc của SB vì AB không đi qua B và không vuông góc với SA. - Đoạn thẳng AC là đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD) và đi qua B, do đó có thể là hình chiếu vuông góc của SB. Vậy, hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng AC. Đáp án: D. AC. Câu 10. Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy (ABCD) là góc giữa đường thẳng SB và hình chiếu của nó lên mặt đáy. Hình chiếu của SB lên mặt đáy là đoạn thẳng từ B vuông góc với SA và nằm trên mặt đáy. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy là góc $\widehat{SBA}$. Đáp án đúng là: A. $\widehat{SBA}$. Câu 11. Hình lập phương là một trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật, do đó khẳng định A là đúng. Hình lập phương có 4 đường chéo bằng nhau, do đó khẳng định B là đúng. 6 mặt của hình lập phương đều là những hình vuông, do đó khẳng định C là đúng. Hai mặt (ACC'A') và (BDD'B') không vuông góc với nhau, do đó khẳng định D là sai. Vậy khẳng định sai là D. Câu 12. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của hình chóp và các mặt phẳng vuông góc. 1. Xác định điều kiện ban đầu: - Hình chóp S.ABC có \( SA \perp (ABCD) \). 2. Phân tích từng khẳng định: - Khẳng định A: \((SAB) \perp (ABCD)\) - Vì \( SA \perp (ABCD) \), nên mặt phẳng \((SAB)\) sẽ chứa đường thẳng \( SA \) và cắt qua \( AB \). Do đó, mặt phẳng \((SAB)\) sẽ vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Khẳng định này đúng. - Khẳng định B: \((SBC) \perp (SAC)\) - Để hai mặt phẳng vuông góc nhau, chúng phải có một đường thẳng chung và đường thẳng này phải vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, không có thông tin nào cho thấy \((SBC)\) và \((SAC)\) vuông góc với nhau. Khẳng định này sai. - Khẳng định C: \((SBC) \perp (ABCD)\) - Mặt phẳng \((SBC)\) chứa đường thẳng \( SB \) và \( SC \). Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy \( SB \) hoặc \( SC \) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Khẳng định này sai. - Khẳng định D: \((SBC) \perp (SAB)\) - Để hai mặt phẳng vuông góc nhau, chúng phải có một đường thẳng chung và đường thẳng này phải vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, không có thông tin nào cho thấy \((SBC)\) và \((SAB)\) vuông góc với nhau. Khẳng định này sai. 3. Kết luận: - Khẳng định đúng duy nhất là \((SAB) \perp (ABCD)\). Vậy đáp án đúng là: A. \((SAB) \perp (ABCD)\) Câu 13. a) Phương trình $16^x = \frac{1}{4}$ Ta có: $16^x = \frac{1}{4}$ $(2^4)^x = 2^{-2}$ $2^{4x} = 2^{-2}$ $4x = -2$ $x = -\frac{1}{2}$ Phương trình có nghiệm $x = -\frac{1}{2}$ nên mệnh đề sai. b) Phương trình $\log_2 x = 3$ Ta có: $\log_2 x = 3$ $x = 2^3$ $x = 8$ Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 8$ nên mệnh đề đúng. c) Bất phương trình $3^{x-1} \geq (\frac{1}{a})^x$ Để giải bất phương trình này, ta cần biết giá trị của $a$. Do đó, không thể kết luận được nghiệm lớn nhất của bất phương trình này là $x = \frac{1}{x}$. Mệnh đề sai. d) Bất phương trình $\log_{1}(2x-2) \leq 3$ Ta có: $\log_{1}(2x-2) \leq 3$ Do $\log_{1}(y)$ không xác định (vì cơ số logarit phải lớn hơn 0 và khác 1), nên bất phương trình này không có nghiệm. Mệnh đề sai. Đáp án: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 14. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a: \( SO \perp (ABCD) \) - Vì \( SA = SC = SB = SD = a\sqrt{2} \), ta thấy rằng \( S \) nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ \( O \) xuống đáy \( ABCD \). - Do đó, \( SO \perp (ABCD) \). Kết luận: Đúng Mệnh đề b: \( BD \perp (SAC) \) - Ta biết rằng \( BD \) là đường chéo của hình vuông \( ABCD \), do đó \( BD \perp AC \). - Mặt khác, \( SO \perp (ABCD) \), nên \( SO \perp BD \). - Vì \( BD \perp AC \) và \( BD \perp SO \), suy ra \( BD \perp (SAC) \). Kết luận: Đúng Mệnh đề c: \( (SAD) \perp (ABCD) \) - Ta xét tam giác \( SAD \): - \( SA = SD = a\sqrt{2} \) - \( AD = a \) - Ta thấy rằng \( SA^2 + AD^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 \neq (a\sqrt{2})^2 \) - Do đó, tam giác \( SAD \) không phải là tam giác vuông tại \( A \), suy ra \( (SAD) \) không vuông góc với \( (ABCD) \). Kết luận: Sai Mệnh đề d: Góc giữa cạnh \( SD \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) bằng \( 45^\circ \) - Ta xét tam giác \( SOD \): - \( SO \perp (ABCD) \), do đó \( SO \perp OD \). - \( SO = a \) (vì \( SO \) là đường cao hạ từ \( S \) xuống \( O \)). - \( OD = \frac{a\sqrt{2}}{2} \) (vì \( O \) là tâm của hình vuông \( ABCD \)). - Ta có: \[ \tan(\angle SDO) = \frac{SO}{OD} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \] - Do đó, \( \angle SDO = 45^\circ \). Kết luận: Đúng Tóm lại: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Đúng - Mệnh đề c: Sai - Mệnh đề d: Đúng Câu 15. Để tính giá trị của biểu thức \( P = 64^{\frac{2}{3}} + 16^{-0,75} - 9^{0,5} \), chúng ta sẽ thực hiện từng phần của biểu thức theo thứ tự. 1. Tính \( 64^{\frac{2}{3}} \): \[ 64 = 4^3 \Rightarrow 64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 4^2 = 16 \] 2. Tính \( 16^{-0,75} \): \[ 16 = 2^4 \Rightarrow 16^{-0,75} = (2^4)^{-0,75} = 2^{4 \cdot (-0,75)} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \] 3. Tính \( 9^{0,5} \): \[ 9 = 3^2 \Rightarrow 9^{0,5} = (3^2)^{0,5} = 3^{2 \cdot 0,5} = 3^1 = 3 \] Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các kết quả lại: \[ P = 16 + \frac{1}{8} - 3 \] Chuyển \(\frac{1}{8}\) thành số thập phân: \[ \frac{1}{8} = 0,125 \] Vậy: \[ P = 16 + 0,125 - 3 = 13,125 \] Cuối cùng, làm tròn đến hàng đơn vị: \[ P \approx 13 \] Đáp số: \( P \approx 13 \) Câu 16. Để biết sau bao nhiêu năm thì người đó có được tổng số tiền cả vốn và lãi là 50 triệu đồng, ta áp dụng công thức đã cho: \[ y = \log_{1,063}\left(\frac{x}{30}\right) \] Trong đó: - \( x = 50 \) triệu đồng (tổng số tiền cả vốn và lãi mong muốn) - \( y \) là số năm Thay giá trị của \( x \) vào công thức: \[ y = \log_{1,063}\left(\frac{50}{30}\right) \] Tính toán phần trong dấu logarit: \[ \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \approx 1,6667 \] Do đó: \[ y = \log_{1,063}(1,6667) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của logarit này: \[ y \approx \log_{1,063}(1,6667) \approx 8,99 \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ y \approx 9 \] Vậy sau khoảng 9 năm, người đó sẽ có được tổng số tiền cả vốn và lãi là 50 triệu đồng. Đáp số: 9 năm.